Verifique que as funções abaixo são integraveis e calcule a sua integral:
f(x)=x^{2}-4 x+3 em 0 ; 1

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
f(x)=x^{2}-4x+3
é integrável no intervalo [0,1] e, em seguida, calcular a integral definida
\int_{0}^{1}f(x)\,dx.
O conteúdo necessário envolve a noção de integrabilidade de funções contínuas (polinômios) e o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular integrais definidas.

Passo 2

Como f é um polinômio, ela é contínua em todo \mathbb{R} e, portanto, Riemann-integrável em qualquer intervalo fechado. Logo, f é integrável em [0,1].

Passo 3

Para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, precisamos de uma primitiva F(x) de f(x). Integramos termo a termo:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\quad \int (-4x)\,dx=-2x^{2},\quad \int 3\,dx=3x.
Assim, uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+3x.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{1}f(x)\,dx=F(1)-F(0) =\Bigl(\tfrac{1}{3}-2+3\Bigr)-\bigl(0-0+0\bigr) =\tfrac{1}{3}+1 =\tfrac{4}{3}.

Resposta

A função f é integrável em [0,1] e
\int_{0}^{1}(x^{2}-4x+3)\,dx=\frac{4}{3}.

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