Questão 4. ((2,0)) Use a regra de L’Hospital para calcular os limites a seguir.
(c) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos ^{2} x-1}{e^{2 x}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}\frac{\cos^{2}x-1}{e^{2x}-1}
usando a regra de L’Hospital. O conteúdo envolvido é limite de tipo 0/0 e vamos precisar derivar numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos o indeterminismo substituindo x=0: \cos^{2}(0)-1=1-1=0 e e^{2\cdot0}-1=1-1=0.
Como é 0/0, podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador:
– Numerador: \frac{d}{dx}(\cos^{2}x-1)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x.
– Denominador: \frac{d}{dx}(e^{2x}-1)=2e^{2x}.
Pela regra de L’Hospital,
\lim_{x\to0}\frac{\cos^{2}x-1}{e^{2x}-1} =\lim_{x\to0}\frac{-2\sin x\cos x}{2e^{2x}} =\lim_{x\to0}\frac{-\sin x\cos x}{e^{2x}}.

Passo 4

Para x\to0 temos \sin x\to0, \cos x\to1 e e^{2x}\to1. Logo,
\lim_{x\to0}\frac{-\sin x\cos x}{e^{2x}} =\frac{-0\cdot1}{1}=0.

Resposta

0

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