Questão 4. ((2,0)) Use a regra de L’Hospital para calcular os limites a seguir.
(d) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^{3}-5 x^{2}+4 x-4}{x^{3}-7 x^{2}+7 x+6}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 2}\frac{2x^{3}-5x^{2}+4x-4}{x^{3}-7x^{2}+7x+6}
usando a regra de L’Hospital. Esse limite é do tipo indeterminado \tfrac{0}{0}, então vamos verificar a forma e depois diferenciar numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, tentamos a substituição direta x=2:
Numerador:
2\cdot2^{3}-5\cdot2^{2}+4\cdot2-4 =16-20+8-4=0,
Denominador:
2^{3}-7\cdot2^{2}+7\cdot2+6 =8-28+14+6=0.
Como dá 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Pela regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador em x:
\text{num}'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}-5x^{2}+4x-4\bigr) =6x^{2}-10x+4,
\text{den}'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-7x^{2}+7x+6\bigr) =3x^{2}-14x+7.

Passo 4

Agora avaliamos as derivadas em x=2:
\text{num}'(2)=6\cdot2^{2}-10\cdot2+4=24-20+4=8,
\text{den}'(2)=3\cdot2^{2}-14\cdot2+7=12-28+7=-9.
Logo,
\lim_{x\to2}\frac{2x^{3}-5x^{2}+4x-4}{x^{3}-7x^{2}+7x+6} =\frac{\text{num}'(2)}{\text{den}'(2)} =\frac{8}{-9} =-\frac{8}{9}.

Resposta

-\tfrac{8}{9}

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