Resolva as inequações.
x>1 / 2

Passo 1

O enunciado fornece a inequação \,x>\tfrac{1}{2}\, e pede que se resolva a inequação.
Informações dadas:
  • A desigualdade é \,x>\tfrac{1}{2}\,.
  • A incógnita é x.
    O que se pede:
  • Determinar todos os valores reais de x que satisfazem \,x>\tfrac{1}{2}\,.

Passo 2

Entendendo o que significa \,x>\tfrac{1}{2}\,.
Isto quer dizer: "todos os números x que são estritamente maiores do que \tfrac{1}{2}". Em termos de reta numérica, são todos os pontos que ficam à direita de \tfrac{1}{2}; o ponto \tfrac{1}{2} não está incluído porque a desigualdade é estrita ( >, não \ge).

Passo 3

Regras básicas para resolver inequações (que ajudam em exercícios mais complicados):
  • Pode-se somar ou subtrair o mesmo número em ambos os lados da desigualdade sem mudar o sentido. Ex.: de \,x+2>5\, subtrai-se 2 dos dois lados e obtém-se \,x>3.
  • Pode-se multiplicar ou dividir ambos os lados por um número positivo sem mudar o sentido. Ex.: de \,2x>6\, divide-se por 2 e obtém-se \,x>3.
  • Se multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Ex.: de -3x>6 divide-se por -3 e inverte-se o sinal, obtendo \,x< -2.
    Estas regras servem para “isolar” x e encontrar a solução. No caso dado, a inequação já está isolada.

Passo 4

Aplicando as ideias ao caso concreto \,x>\tfrac{1}{2}\,.
A incógnita já está isolada; portanto a solução é simplesmente "todos os números maiores que \tfrac{1}{2}". Podemos também escrever a inequação como
x-\tfrac{1}{2}>0,
o que reforça que a distância algebraica entre x e \tfrac{1}{2} deve ser positiva (isto é, x fica à direita de \tfrac{1}{2} na reta).

Passo 5

Escritas equivalentes da solução (duas formas úteis que aparecem muito em provas):
  • Notação em conjuntos: \{\,x\in\mathbb{R}\mid x>\tfrac{1}{2}\,\}. Aqui lê-se: conjunto de todos os reais x tais que x>\tfrac{1}{2}.
  • Notação de intervalo: \left(\tfrac{1}{2},\infty\right). Parêntese aberto em \tfrac{1}{2} indica que \tfrac{1}{2} não está incluído; o infinito sempre vem acompanhado de parêntese.

Passo 6

Visualização rápida e verificação: na reta numérica representa-se um círculo aberto em \tfrac{1}{2} e sombreia-se tudo à direita até o infinito. Para checar um valor: pegue x=1 (que é maior que \tfrac{1}{2}); substituindo em \,x>\tfrac{1}{2}\, obtemos 1>\tfrac{1}{2}, que é verdadeiro. Pegue x=0; 0>\tfrac{1}{2} é falso, então 0 não pertence à solução.

Resposta

\{\,x\in\mathbb{R}\mid x>\tfrac{1}{2}\,)
\left(\tfrac{1}{2},\infty\right)

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