Questão 1. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva C indicada em cada item.
Nos casos em que a orientação da curva não for explicitada, considere C orientada positivamente (no sentido anti-horário).
\oint_{C}\left(y^{2}-7 y\right) d x+(2 x y+2 x) d y, onde C é o círculo de raio 1 e centro na origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C}\bigl(y^{2}-7y\bigr)\,dx \;+\;(2xy+2x)\,dy
onde C é o círculo de raio 1 centrado na origem, orientado positivamente (anti-horário). O método indicado é o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região D interior a C.

Passo 2

Identificamos as funções
P(x,y) = y^{2}-7y, \qquad Q(x,y) = 2xy+2x.
O Teorema de Green diz que
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial(2xy+2x)}{\partial x} = 2y + 2,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial(y^{2}-7y)}{\partial y} = 2y - 7.

Passo 4

Montamos o integrando da integral dupla:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = (2y+2) - (2y-7) = 2y + 2 -2y +7 = 9.
Como o integrando é constante igual a 9,
\iint_{D}9\,dA = 9\iint_{D}dA = 9\cdot\bigl(\text{área de }D\bigr).á

Passo 5

A região D é o disco de raio 1, cuja área é \pi\cdot1^{2}=\pi. Logo
\iint_{D}9\,dA = 9\pi.

Resposta

9\pi

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