Questão 2. Use o Teorema de Lagrange para calcular os intervalos que contém as raízes positivas eo que contém as rízes negativas do polinômio
Passo 1
O enunciado pede: determinar, usando o Teorema de Lagrange (limite superior para raízes reais de polinômios), quais intervalos contém as raízes positivas e quais contém as raízes negativas do polinômio
Informações dadas: o polinômio
é de grau
com coeficiente líder
e coeficientes listados (do grau 5 ao grau 0) são
. O objetivo é obter intervalos que garantam conter todas as raízes positivas e, separadamente, todas as raízes negativas.
Passo 2
Apresentando o Teorema de Lagrange (forma usada para limite superior das raízes positivas). Seja um polinômio
Uma forma útil do Teorema de Lagrange (ou desigualdade de Cauchy/Lagrange) afirma que toda raiz real positiva
satisfaz
Explicando a fórmula: cada
é o coeficiente do termo
. Para cada coeficiente negativo
calculamos
(isso é a raiz
-ésima do quociente do módulo do coeficiente negativo pelo coeficiente líder). Pegamos o máximo desses valores e somamos
. O resultado é um limite superior: toda raiz positiva está abaixo ou igual a esse número. Esse teorema nos dá um intervalo
que contém todas as raízes positivas.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso polinômio
. Aqui
e
. Identificamos os coeficientes negativos (além do líder):
e
. Vamos calcular, para cada um, o valor
e depois somar
.
Para
(coeficiente
):
Somando
temos
.
Para
(coeficiente
):
Somando
temos
.
Agora comparamos
e
. Note que
e
, logo
é o maior dos dois. Portanto o máximo na fórmula é
.
Passo 4
Conclusão para as raízes positivas: pelo Teorema de Lagrange toda raiz positiva de
satisfaz
Assim todas as raízes positivas estão contidas no intervalo
(Escolhi escrever como intervalo aberto à esquerda por convenção — a ideia principal é que o limite superior é
.)
Passo 5
Para localizar as raízes negativas usamos o mesmo procedimento, aplicando o teorema às raízes positivas do polinômio obtido por substituição
. Definimos
. As raízes positivas de
correspondem, em sinal trocado, às raízes negativas de
. Para aplicar a forma do Teorema com coeficiente líder positivo, se necessário multiplicamos por
.
Calculemos
:
Multiplicando por
para que o coeficiente líder seja positivo, obtemos
Agora aplicamos a forma do Teorema de Lagrange a
.
Passo 6
Identificamos os coeficientes negativos de
:
,
,
. Calculamos os termos
:
Para
:
Para
:
Para
:
pois
.
O maior entre
e
é novamente
. Logo todas as raízes positivas de
(isto é, os valores
tais que
) satisfazem
.
Passo 7
Voltando para
: uma raiz negativa
de
corresponde a uma raiz positiva
de
(ou de
). Como
, obtemos
para as raízes negativas. Portanto todas as raízes negativas de
estão contidas no intervalo
Resposta
As raízes positivas de
estão contidas em
.
As raízes negativas de estão contidas em
.
As raízes negativas de