Questão 2. Use o Teorema de Lagrange para calcular os intervalos que contém as raízes positivas eo que contém as rízes negativas do polinômio
P(x)=x^{5}+2 x^{4}-17 x^{3}-34 x^{2}+16 x+32

Passo 1

O enunciado pede: determinar, usando o Teorema de Lagrange (limite superior para raízes reais de polinômios), quais intervalos contém as raízes positivas e quais contém as raízes negativas do polinômio
P(x)=x^{5}+2 x^{4}-17 x^{3}-34 x^{2}+16 x+32.
Informações dadas: o polinômio P é de grau 5 com coeficiente líder 1 e coeficientes listados (do grau 5 ao grau 0) são 1,2,-17,-34,16,32. O objetivo é obter intervalos que garantam conter todas as raízes positivas e, separadamente, todas as raízes negativas.

Passo 2

Apresentando o Teorema de Lagrange (forma usada para limite superior das raízes positivas). Seja um polinômio
a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0,\qquad a_n>0.
Uma forma útil do Teorema de Lagrange (ou desigualdade de Cauchy/Lagrange) afirma que toda raiz real positiva x satisfaz
x \le 1 + \max_{0\le k\le n-1,\; a_k<0}\left(|a_k/a_n|^{\frac{1}{\,n-k\,}}\right).
Explicando a fórmula: cada a_k é o coeficiente do termo x^k. Para cada coeficiente negativo a_k calculamos |a_k/a_n|^{1/(n-k)} (isso é a raiz (n-k)-ésima do quociente do módulo do coeficiente negativo pelo coeficiente líder). Pegamos o máximo desses valores e somamos 1. O resultado é um limite superior: toda raiz positiva está abaixo ou igual a esse número. Esse teorema nos dá um intervalo (0,\text{limite}] que contém todas as raízes positivas.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso polinômio P(x). Aqui n=5 e a_5=1. Identificamos os coeficientes negativos (além do líder): a_3=-17 e a_2=-34. Vamos calcular, para cada um, o valor |a_k/a_5|^{1/(5-k)} e depois somar 1.
Para k=3 (coeficiente -17):
|a_3/a_5|^{\frac{1}{5-3}} = 17^{\frac{1}{2}} = \sqrt{17}.
Somando 1 temos 1+\sqrt{17}.
Para k=2 (coeficiente -34):
|a_2/a_5|^{\frac{1}{5-2}} = 34^{\frac{1}{3}}.
Somando 1 temos 1+34^{\frac{1}{3}}.
Agora comparamos 1+\sqrt{17} e 1+34^{1/3}. Note que \sqrt{17}\approx 4,123 e 34^{1/3}\approx 3,238, logo 1+\sqrt{17} é o maior dos dois. Portanto o máximo na fórmula é 1+\sqrt{17}.

Passo 4

Conclusão para as raízes positivas: pelo Teorema de Lagrange toda raiz positiva de P(x) satisfaz
0 < x \le 1+\sqrt{17}.
Assim todas as raízes positivas estão contidas no intervalo
(0,\,1+\sqrt{17}).
(Escolhi escrever como intervalo aberto à esquerda por convenção — a ideia principal é que o limite superior é 1+\sqrt{17}.)

Passo 5

Para localizar as raízes negativas usamos o mesmo procedimento, aplicando o teorema às raízes positivas do polinômio obtido por substituição x\mapsto -x. Definimos Q(x)=P(-x). As raízes positivas de Q correspondem, em sinal trocado, às raízes negativas de P. Para aplicar a forma do Teorema com coeficiente líder positivo, se necessário multiplicamos por -1.
Calculemos Q(x)=P(-x):
Q(x)= -x^{5}+2x^{4}+17x^{3}-34x^{2}-16x+32.
Multiplicando por -1 para que o coeficiente líder seja positivo, obtemos
\tilde Q(x)= -Q(x)= x^{5}-2x^{4}-17x^{3}+34x^{2}+16x-32.
Agora aplicamos a forma do Teorema de Lagrange a \tilde Q.

Passo 6

Identificamos os coeficientes negativos de \tilde Q: a_4=-2, a_3=-17, a_0=-32. Calculamos os termos |a_k/a_5|^{1/(5-k)}:
Para k=4:
|a_4/a_5|^{\frac{1}{5-4}} = 2^{1}=2 \quad\Rightarrow\quad 1+2=3.
Para k=3:
|a_3/a_5|^{\frac{1}{5-3}} = 17^{\frac{1}{2}}=\sqrt{17} \quad\Rightarrow\quad 1+\sqrt{17}.
Para k=0:
|a_0/a_5|^{\frac{1}{5-0}} = 32^{\frac{1}{5}}=2 \quad\Rightarrow\quad 1+2=3,
pois 32=2^{5}.
O maior entre 3 e 1+\sqrt{17} é novamente 1+\sqrt{17}. Logo todas as raízes positivas de \tilde Q (isto é, os valores t>0 tais que \tilde Q(t)=0) satisfazem t\le 1+\sqrt{17}.

Passo 7

Voltando para P: uma raiz negativa x de P corresponde a uma raiz positiva t=-x de Q (ou de \tilde Q). Como t\le 1+\sqrt{17}, obtemos |x|\le 1+\sqrt{17} para as raízes negativas. Portanto todas as raízes negativas de P estão contidas no intervalo
(-1-\sqrt{17},\,0).

Resposta

As raízes positivas de P estão contidas em (0,\,1+\sqrt{17}).
As raízes negativas de P estão contidas em (-1-\sqrt{17},\,0).

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