Considere os pontos (x, y)=(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,3). Queremos calcular L_{3}(0.5), onde L_{3} é o polinômio de Lagrange de 3 o grau que aproxima os pontos dados. Considerando os pontos na ordem em que foram dados, responda:
Qual é o quarto termo da fórmula de L_{3} ?
Qual é o quarto termo da fórmula de L_{3} ?
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos, na ordem indicada:
. Pede-se o quarto termo da fórmula do polinômio de Lagrange
(isto é, o termo correspondente ao quarto ponto, usando a ordem dada). As informações relevantes são os quatro pares
e que
é o polinômio de grau 3 que interpola esses pontos.
Passo 2
Vou lembrar a fórmula geral de Lagrange e explicar cada símbolo. Para
(quatro pontos) o polinômio de Lagrange é
onde cada polinômio base
é definido por
Aqui
e
são as abscissas e ordenadas dos pontos dados;
vale
em
e
em todos os outros
(
). O “quarto termo” de
é o termo com
, ou seja
.
Passo 3
Identificamos os índices conforme a ordem dada:
Portanto o quarto termo será
com
e
.
Passo 4
Calculemos
usando a definição:
Substituindo os valores
obtemos
Logo
Passo 5
Agora multiplicamos pelo
para obter o quarto termo:
Esse é o termo de
correspondente ao quarto ponto
.