Considere os pontos (x, y)=(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,3). Queremos calcular L_{3}(0.5), onde L_{3} é o polinômio de Lagrange de 3 o grau que aproxima os pontos dados. Considerando os pontos na ordem em que foram dados, responda:
Qual é o quarto termo da fórmula de L_{3} ?

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos, na ordem indicada: (-2,0),(-1,1),(0,2),(1,3). Pede-se o quarto termo da fórmula do polinômio de Lagrange L_{3} (isto é, o termo correspondente ao quarto ponto, usando a ordem dada). As informações relevantes são os quatro pares (x_i,y_i) e que L_{3} é o polinômio de grau 3 que interpola esses pontos.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula geral de Lagrange e explicar cada símbolo. Para n=3 (quatro pontos) o polinômio de Lagrange é
L_{3}(x)=\sum_{i=0}^{3} y_{i}\, \ell_{i}(x),
onde cada polinômio base \ell_{i}(x) é definido por
\ell_{i}(x)=\prod_{\substack{j=0 \\\ j\neq i}}^{3}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}.
Aqui x_{i} e y_{i} são as abscissas e ordenadas dos pontos dados; \ell_{i}(x) vale 1 em x=x_{i} e 0 em todos os outros x_{j} ( j\neq i). O “quarto termo” de L_{3} é o termo com i=3, ou seja y_{3}\,\ell_{3}(x).

Passo 3

Identificamos os índices conforme a ordem dada:
x_{0}=-2,\; y_{0}=0;\qquad x_{1}=-1,\; y_{1}=1;\qquad x_{2}=0,\; y_{2}=2;\qquad x_{3}=1,\; y_{3}=3.
Portanto o quarto termo será y_{3}\,\ell_{3}(x) com x_{3}=1 e y_{3}=3.

Passo 4

Calculemos \ell_{3}(x) usando a definição:
\ell_{3}(x)=\prod_{j=0}^{2}\frac{x-x_{j}}{x_{3}-x_{j}} =\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{3}-x_{0})(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})}.
Substituindo os valores x_{0}=-2,\;x_{1}=-1,\;x_{2}=0,\;x_{3}=1 obtemos
\ell_{3}(x)=\frac{(x-(-2))(x-(-1))(x-0)}{(1-(-2))(1-(-1))(1-0)} =\frac{(x+2)(x+1)x}{3\cdot 2\cdot 1}.
Logo
\ell_{3}(x)=\frac{x(x+1)(x+2)}{6}.

Passo 5

Agora multiplicamos pelo y_{3} para obter o quarto termo:
y_{3}\,\ell_{3}(x)=3\cdot \frac{x(x+1)(x+2)}{6}=\frac{x(x+1)(x+2)}{2}.
Esse é o termo de L_{3} correspondente ao quarto ponto (1,3).

Resposta

\displaystyle \frac{x(x+1)(x+2)}{2}

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