Considere os pontos (x, y)=(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,3). Queremos calcular L_{3}(0.5), onde L_{3} é o polinômio de Lagrange de 3 o grau que aproxima os pontos dados. Considerando os pontos na ordem em que foram dados, responda:
Qual é o valor de L_{3}(0.5) ?
Qual é o valor de L_{3}(0.5) ?
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos e pede o valor de
, onde
é o polinômio de Lagrange de grau 3 que interpola estes pontos, considerados na ordem dada. Os dados são:
Queremos calcular o valor numérico de
.
Passo 2
Vou usar a fórmula padrão do polinômio interpolador de Lagrange. Explico a fórmula e cada símbolo:
onde cada
é o polinômio base de Lagrange definido por
Aqui:
-
é o ponto onde avaliamos o polinômio (no nosso caso ); -
e são as coordenadas dos pontos dados; -
é construído para valer em e em todos os outros ( ), de modo que cada termo contribui com na sua abscissa e não altera os valores dos outros pontos.
Passo 3
Vou indexar os pontos como já indicado:
;
;
;
.
Observação útil: como , o termo
será zero para qualquer
. Assim só precisamos calcular as contribuições dos índices
.
Observação útil: como
Passo 4
Calcular
(para
). Usando a definição:
Substituindo
:
Logo
Simplificando os sinais:
Passo 5
Avalio
em
:
Calcule passo a passo:
;
; dividido por
dá
Contribuição ao polinômio:
.
Passo 6
Calcular
(para
):
Denominadores:
.
Portanto
Portanto
Avalio em
:
Calcule:
;
. Então
Contribuição ao polinômio:
.
Passo 7
Calcular
(para
):
Denominadores:
.
Então
Então
Avalio em
:
logo
Contribuição ao polinômio:
.
Passo 8
Agora somo as contribuições (lembre que o termo
é zero porque
):
Numericamente:
Somando passo a passo:
;
.
Portanto .
Portanto