Considere os pontos (x, y)=(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,3). Queremos calcular L_{3}(0.5), onde L_{3} é o polinômio de Lagrange de 3 o grau que aproxima os pontos dados. Considerando os pontos na ordem em que foram dados, responda:
Qual é o valor de L_{3}(0.5) ?

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos e pede o valor de L_{3}(0,5), onde L_{3} é o polinômio de Lagrange de grau 3 que interpola estes pontos, considerados na ordem dada. Os dados são:
(x_0,y_0)=(-2,0),\quad (x_1,y_1)=(-1,1),\quad (x_2,y_2)=(0,2),\quad (x_3,y_3)=(1,3).
Queremos calcular o valor numérico de L_{3}(0,5).

Passo 2

Vou usar a fórmula padrão do polinômio interpolador de Lagrange. Explico a fórmula e cada símbolo:
L_{3}(x)=\sum_{j=0}^{3} y_j\,\ell_j(x),
onde cada \ell_j(x) é o polinômio base de Lagrange definido por
\ell_j(x)=\prod_{\substack{m=0\\\ m\neq j}}^{3}\frac{x-x_m}{x_j-x_m}.
Aqui:
  • x é o ponto onde avaliamos o polinômio (no nosso caso x=0,5);
  • x_j e y_j são as coordenadas dos pontos dados;
  • \ell_j(x) é construído para valer 1 em x=x_j e 0 em todos os outros x_m ( m\neq j), de modo que cada termo y_j\ell_j(x) contribui com y_j na sua abscissa e não altera os valores dos outros pontos.

Passo 3

Vou indexar os pontos como já indicado: x_0=-2,y_0=0; x_1=-1,y_1=1; x_2=0,y_2=2; x_3=1,y_3=3.
Observação útil: como y_0=0, o termo y_0\ell_0(x) será zero para qualquer x. Assim só precisamos calcular as contribuições dos índices j=1,2,3.

Passo 4

Calcular \ell_1(x) (para x_1=-1). Usando a definição:
\ell_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\cdot\frac{x-x_2}{x_1-x_2}\cdot\frac{x-x_3}{x_1-x_3}.
Substituindo x_0=-2,\;x_1=-1,\;x_2=0,\;x_3=1:
x_1-x_0=-1-(-2)=1,\quad x_1-x_2=-1-0=-1,\quad x_1-x_3=-1-1=-2.
Logo
\ell_1(x)=\frac{x+2}{1}\cdot\frac{x}{-1}\cdot\frac{x-1}{-2}=(x+2)\cdot(-x)\cdot\left(-\frac{x-1}{2}\right).
Simplificando os sinais:
\ell_1(x)=\frac{(x+2)\,x\,(x-1)}{2}.

Passo 5

Avalio \ell_1 em x=0,5:
\ell_1(0,5)=\frac{(0,5+2)\cdot 0,5\cdot(0,5-1)}{2}=\frac{2,5\cdot 0,5\cdot(-0,5)}{2}.
Calcule passo a passo: 2,5\cdot0,5=1,25; 1,25\cdot(-0,5)=-0,625; dividido por 2
\ell_1(0,5)=-0,3125.
Contribuição ao polinômio: y_1\ell_1(0,5)=1\cdot(-0,3125)=-0,3125.

Passo 6

Calcular \ell_2(x) (para x_2=0):
\ell_2(x)=\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\cdot\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\cdot\frac{x-x_3}{x_2-x_3}.
Denominadores: x_2-x_0=0-(-2)=2,\; x_2-x_1=0-(-1)=1,\; x_2-x_3=0-1=-1.
Portanto
\ell_2(x)=\frac{x+2}{2}\cdot\frac{x+1}{1}\cdot\frac{x-1}{-1}=-\frac{(x+2)(x+1)(x-1)}{2}.
Avalio em x=0,5:
(x+2)(x+1)(x-1)=(2,5)(1,5)(-0,5)=2,5\cdot1,5\cdot(-0,5).
Calcule: 2,5\cdot1,5=3,75; 3,75\cdot(-0,5)=-1,875. Então
\ell_2(0,5)=-\frac{-1,875}{2}=\frac{1,875}{2}=0,9375.
Contribuição ao polinômio: y_2\ell_2(0,5)=2\cdot 0,9375=1,875.

Passo 7

Calcular \ell_3(x) (para x_3=1):
\ell_3(x)=\frac{x-x_0}{x_3-x_0}\cdot\frac{x-x_1}{x_3-x_1}\cdot\frac{x-x_2}{x_3-x_2}.
Denominadores: x_3-x_0=1-(-2)=3,\; x_3-x_1=1-(-1)=2,\; x_3-x_2=1-0=1.
Então
\ell_3(x)=\frac{x+2}{3}\cdot\frac{x+1}{2}\cdot\frac{x}{1}=\frac{x(x+1)(x+2)}{6}.
Avalio em x=0,5:
x(x+1)(x+2)=0,5\cdot1,5\cdot2,5=1,875,
logo
\ell_3(0,5)=\frac{1,875}{6}=0,3125.
Contribuição ao polinômio: y_3\ell_3(0,5)=3\cdot 0,3125=0,9375.

Passo 8

Agora somo as contribuições (lembre que o termo j=0 é zero porque y_0=0):
L_{3}(0,5)=y_0\ell_0(0,5)+y_1\ell_1(0,5)+y_2\ell_2(0,5)+y_3\ell_3(0,5).
Numericamente:
L_{3}(0,5)=0 + (-0,3125) + 1,875 + 0,9375.
Somando passo a passo: -0,3125+1,875=1,5625; 1,5625+0,9375=2,5.
Portanto L_{3}(0,5)=2,5.

Resposta

2,5

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