Questão 9: Utilizando o complemento de quadrado, encontre as raízes das seguintes expressões do segundo grau. Além disso, encontre as raízes usando a parte anterior e usando o Bhaskara:
x^2+x-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de segundo grau
x^2 + x - 1 = 0
por dois métodos: primeiro usando o complemento de quadrado e depois usando a fórmula de Bhaskara. Vamos aplicar ideias de álgebra quadrática para obter as raízes.

Passo 2

Aplicando complemento de quadrado, isolamos os termos em x:
x^2 + x - 1 = 0 Longrightarrow x^2 + x = 1
Agora somamos b^24a^2=14 em ambos os lados (pois a=1 e b=1):
x^2 + x + 14 = 1 + 14
Reescrevendo o lado esquerdo como quadrado perfeito e simplificando o direito:
l(x + tfrac12r)^2 = tfrac54
Tirando raiz quadrada em ambos os lados:
x + tfrac12 = pm tfracraiz52,
logo
x = -tfrac12 pm tfracraiz52

Passo 3

Agora aplicamos diretamente a fórmula de Bhaskara para checar. Temos a=1, b=1, c=-1, então
De<a = b^2 - 4ac = 1 - 4cdot1cdot(-1) = 5
Portanto
x = -b pm raizDe<a2a = -1 pm raiz52

Passo 4

Comparando, ambos os métodos dão exatamente as mesmas raízes, que podemos escrever de duas formas equivalentes:
x = -tfrac12 + tfracraiz52 e x = -tfrac12 - tfracraiz52,
ou ainda
x = -1 + raiz52 e x = -1 - raiz52

Resposta

As raízes da equação x^2 + x - 1 = 0 são
x = -tfrac12 + tfracraiz52 e x = -tfrac12 - tfracraiz52

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