Reduza as equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem abaixo à equações de primeira ordem e resolva as mesmas:
y^{\prime \prime}=-4 y^{-3}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem
y'' = -4\,y^{-3}
que não depende de x explicitamente. Podemos reduzir a ordem definindo
v = y'
e tratando v como função de y.

Passo 2

Calculamos
y'' = \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dx} = v\,\frac{dv}{dy}.
Substituindo em \;y''=-4\,y^{-3}:, obtemos a equação de primeira ordem em v e y:
v\,\frac{dv}{dy} = -4\,y^{-3}.

Passo 3

Essa equação é separável. Escrevemos
v\,dv = -4\,y^{-3}\,dy
e integramos ambos os lados:
\int v\,dv = \int -4\,y^{-3}\,dy \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{v^2}{2} = 2\,y^{-2} + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração. Multiplicando por 2, fica
v^2 = 4\,y^{-2} + C_{2},
com C_{2}=2\,C_{1}.

Passo 4

Voltando a y', temos
y' = v = \pm\sqrt{4\,y^{-2} + C_{2}}.
Escolhendo o sinal “ +” (o “ -” dá a mesma família geral), chegamos a
\frac{dy}{dx} = \sqrt{4\,y^{-2} + C_{2}}.

Passo 5

Separamos variáveis e simplificamos
\sqrt{4\,y^{-2} + C_{2}} = \frac{\sqrt{4 + C_{2}\,y^2}}{y},
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dx = \frac{dy}{\sqrt{4\,y^{-2} + C_{2}}} = \frac{y\,dy}{\sqrt{C_{2}\,y^2 + 4}}.
Integramos:
\int dx = \int \frac{y\,dy}{\sqrt{C_{2}\,y^2 + 4}} \;\;\Longrightarrow\;\; x + C_{3} = \frac{1}{C_{2}}\;\sqrt{C_{2}\,y^2 + 4},
onde C_{3} é outra constante de integração.

Passo 6

Isolamos y:
\sqrt{C_{2}\,y^2 + 4} = C_{2}\,(x + C_{3}) \quad\Longrightarrow\quad C_{2}\,y^2 + 4 = C_{2}^2\,(x + C_{3})^2
\Longrightarrow\quad y^2 = C_{2}\,(x + C_{3})^2 \;-\;\frac{4}{C_{2}},
com C_{2}\neq0.

Resposta

A solução geral da EDO
y'' = -4\,y^{-3}
é dada por
y^2 = C_{2}\,(x + C_{3})^2 \;-\;\frac{4}{C_{2}},
ou seja
y(x) = \pm\sqrt{\,C_{2}\,(x + C_{3})^2 \;-\;\frac{4}{C_{2}}\;},
onde C_{2} e C_{3} são constantes arbitrárias.

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