Reduza as equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem abaixo à equações de primeira ordem e resolva as mesmas:
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem
que não depende de
explicitamente. Podemos reduzir a ordem definindo
e tratando
como função de
.
Passo 2
Calculamos
Substituindo em
:, obtemos a equação de primeira ordem em
e
:
Passo 3
Essa equação é separável. Escrevemos
e integramos ambos os lados:
onde
é uma constante de integração. Multiplicando por 2, fica
com
.
Passo 4
Voltando a
, temos
Escolhendo o sinal “
” (o “
” dá a mesma família geral), chegamos a
Passo 5
Separamos variáveis e simplificamos
logo
Integramos:
onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Isolamos
:
com
.
Resposta
A solução geral da EDO
é dada por
ou seja
onde
e
são constantes arbitrárias.