Reduza as equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem abaixo à equações de primeira ordem e resolva as mesmas:
(1+x) y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem:
(1+x)\,y'' + y' = 0.
O conteúdo aqui é o método de redução de ordem: definimos uma nova variável para transformar em uma equação de primeira ordem.

Passo 2

Definimos
p(x) = y'(x),
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y''(x) = p'(x).
Substituindo em (1+x)\,y'' + y' = 0, obtemos a equação de primeira ordem para p:
(1+x)\,p' + p = 0.

Passo 3

Colocando em forma padrão:
p' + \frac{1}{1+x}\,p = 0.
O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\biggl(\int \frac{1}{1+x}\,dx\biggr) = 1+x.
Multiplicando a equação por \mu(x), vem
(1+x)\,p' + p = \frac{d}{dx}\bigl[(1+x)\,p\bigr] = 0
e, integrando,
(1+x)\,p = C_{1} \quad\Longrightarrow\quad p = \frac{C_{1}}{1+x}.

Passo 4

Como p=y', integramos para achar y:
y' = \frac{C_{1}}{1+x} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = C_{1}\int \frac{1}{1+x}\,dx + C_{2} = C_{1}\ln\lvert1+x\rvert + C_{2}.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C_{1}\ln\lvert1+x\rvert + C_{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes de integração.

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