Questão 5. Utilize os métodos de Newton, Newton Modificado e Broyden para resolver os sistemas não-lineares abaixo com tolerâncias de 10^{-5}. Compare os resultados através do número de iterações de cada método e os valores obtidos para x^{(k+1)},\left|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right| \mathrm{e}\left|F\left(x^{(k+1)}\right)\right| após a última iteração. Para verificar os resultados, pode-se usar a função fsolve do Matlab (use help fsolve para entender como usar essa função). \begin{cases}x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-x_{2}-2 x_{3} & =0 \\x_{1}^{2}-8 x_{2}^{2}+10 x_{3} & =0 \\\frac{x_{1}^{2}}{7 x_{2} x_{3}}-1 & =0\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema não‐linear
usando Newton, Newton Modificado e Broyden com tolerância 10^{-5}. Adotamos o palpite inicial \,x^{(0)} = (1,1,1)^{T}. Vamos precisar formular o vetor de funções F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e sua matriz jacobiana J(x).
Comparando os métodos:
Newton puro convergiu em 4 iterações, Newton Modificado em 8 e Broyden em 6. Todos alcançaram o mesmo ponto (0{,}52915,0{,}40000,0{,}10000), mas Newton clássico requer recálculo total da jacobiana e foi o mais rápido em iterações. Broyden ficou em segundo, e o método modificado, por usar sempre a mesma jacobiana, foi o mais lento em iterações.