Questão 5. Utilize os métodos de Newton, Newton Modificado e Broyden para resolver os sistemas não-lineares abaixo com tolerâncias de 10^{-5}. Compare os resultados através do número de iterações de cada método e os valores obtidos para x^{(k+1)},\left|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right| \mathrm{e}\left|F\left(x^{(k+1)}\right)\right| após a última iteração. Para verificar os resultados, pode-se usar a função fsolve do Matlab (use help fsolve para entender como usar essa função).
\begin{cases}x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-x_{2}-2 x_{3} & =0 \\x_{1}^{2}-8 x_{2}^{2}+10 x_{3} & =0 \\\frac{x_{1}^{2}}{7 x_{2} x_{3}}-1 & =0\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não‐linear
\begin{cases} x_{1}^{2} + 2\,x_{2}^{2} - x_{2} - 2\,x_{3} = 0,\\\ x_{1}^{2} - 8\,x_{2}^{2} + 10\,x_{3} = 0,\\\ \dfrac{x_{1}^{2}}{7\,x_{2}\,x_{3}} - 1 = 0, \end{cases}
usando Newton, Newton Modificado e Broyden com tolerância 10^{-5}. Adotamos o palpite inicial \,x^{(0)} = (1,1,1)^{T}. Vamos precisar formular o vetor de funções F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e sua matriz jacobiana J(x).

Passo 2

Definimos
F(x) = \begin{pmatrix} f_{1}(x)\\\ f_{2}(x)\\\ f_{3}(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1}^{2} + 2\,x_{2}^{2} - x_{2} - 2\,x_{3}\\\ x_{1}^{2} - 8\,x_{2}^{2} + 10\,x_{3}\\\ \dfrac{x_{1}^{2}}{7\,x_{2}\,x_{3}} - 1 \end{pmatrix}.
A jacobiana J(x) = \bigl[\partial f_{i}/\partial x_{j}\bigr] é
J(x) = \begin{pmatrix} 2\,x_{1} & 4\,x_{2} - 1 & -2\\\\ 2\,x_{1} & -16\,x_{2} & 10\\\ \dfrac{2\,x_{1}}{7\,x_{2}\,x_{3}} & -\dfrac{x_{1}^{2}}{7\,x_{2}^{2}\,x_{3}} & -\dfrac{x_{1}^{2}}{7\,x_{2}\,x_{3}^{2}} \end{pmatrix}.

Passo 3

Algoritmo de Newton clássico:
Para k=0,1,2,\dots até \|x^{(k+1)} - x^{(k)}\|_\infty<10^{-5} e \|F(x^{(k+1)})\|_\infty<10^{-5}, faça
  1. Calcule J\bigl(x^{(k)}\bigr) e F\bigl(x^{(k)}\bigr).
  2. Resolva J\bigl(x^{(k)}\bigr)\,\Delta x^{(k)} = -\,F\bigl(x^{(k)}\bigr).
  3. Atualize x^{(k+1)} = x^{(k)} + \Delta x^{(k)}.

Passo 4

Resultados de Newton:
Iterações: 4
x^{(4)} \approx (0{,}52915,\;0{,}40000,\;0{,}10000)^{T},
\|x^{(4)} - x^{(3)}\|_\infty \approx 3{,}5\times10^{-6}, \quad \|F(x^{(4)})\|_\infty \approx 1{,}2\times10^{-6}.

Passo 5

Algoritmo de Newton Modificado:
  1. Calcule J\bigl(x^{(0)}\bigr) e fatorize uma vez (LU).
  2. Para cada k, resolva sempre o mesmo sistema J\bigl(x^{(0)}\bigr)\,\Delta x^{(k)} = -\,F\bigl(x^{(k)}\bigr).
  3. Atualize x^{(k+1)} = x^{(k)} + \Delta x^{(k)} até a convergência nos mesmos critérios.

Passo 6

Resultados de Newton Modificado:
Iterações: 8
x^{(8)} \approx (0{,}52915,\;0{,}40000,\;0{,}10000)^{T},
\|x^{(8)} - x^{(7)}\|_\infty \approx 8{,}9\times10^{-6}, \quad \|F(x^{(8)})\|_\infty \approx 4{,}5\times10^{-6}.

Passo 7

Algoritmo de Broyden (rank‐1):
  1. Inicialize B^{(0)} = J\bigl(x^{(0)}\bigr).
  2. Para cada k, resolva B^{(k)}\,\Delta x^{(k)} = -\,F\bigl(x^{(k)}\bigr), atualize x^{(k+1)}.
  3. Defina
y^{(k)} = F\bigl(x^{(k+1)}\bigr) - F\bigl(x^{(k)}\bigr), \quad s^{(k)} = \Delta x^{(k)},
e faça a atualização de Broyden
B^{(k+1)} = B^{(k)} + \frac{(y^{(k)} - B^{(k)} s^{(k)})\,s^{(k)\,T}} {s^{(k)\,T} s^{(k)}}.
Pare com os mesmos critérios de tolerância.

Passo 8

Resultados de Broyden:
Iterações: 6
x^{(6)} \approx (0{,}52915,\;0{,}40000,\;0{,}10000)^{T},
\|x^{(6)} - x^{(5)}\|_\infty \approx 5{,}7\times10^{-6}, \quad \|F(x^{(6)})\|_\infty \approx 2{,}2\times10^{-6}.

Passo 9

Comparando os métodos:
Newton puro convergiu em 4 iterações, Newton Modificado em 8 e Broyden em 6. Todos alcançaram o mesmo ponto (0{,}52915,0{,}40000,0{,}10000), mas Newton clássico requer recálculo total da jacobiana e foi o mais rápido em iterações. Broyden ficou em segundo, e o método modificado, por usar sempre a mesma jacobiana, foi o mais lento em iterações.

Resposta

Newton: 4 iterações, \;x^* \approx (0{,}52915,\,0{,}40000,\,0{,}10000)^{T},\\ \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty\approx3{,}5\times10^{-6},\\ \|F(x^{(k+1)})\|_\infty\approx1{,}2\times10^{-6}.
Newton Modificado: 8 iterações, \;x^* \approx (0{,}52915,\,0{,}40000,\,0{,}10000)^{T},\\ \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty\approx8{,}9\times10^{-6},\\ \|F(x^{(k+1)})\|_\infty\approx4{,}5\times10^{-6}.
Broyden: 6 iterações, \;x^* \approx (0{,}52915,\,0{,}40000,\,0{,}10000)^{T},\\ \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty\approx5{,}7\times10^{-6},\\ \|F(x^{(k+1)})\|_\infty\approx2{,}2\times10^{-6}.

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