Questão 5. Utilize os métodos de Newton, Newton Modificado e Broyden para resolver os sistemas não-lineares abaixo com tolerâncias de 10^{-5}. Compare os resultados através do número de iterações de cada método e os valores obtidos para x^{(k+1)},\left|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right| \mathrm{e}\left|F\left(x^{(k+1)}\right)\right| após a última iteração. Para verificar os resultados, pode-se usar a função fsolve do Matlab (use help fsolve para entender como usar essa função). \begin{cases}x_{1}+x_{2}^{3}-5 x^{2}-2 x_{2}=10, & \\x_{1}+x_{2}^{3}+x_{2}^{2}-14 x_{2}=29, & \end{cases}
Passo 1
O problema pede para resolver o sistema não-linear
usando (a) Newton, (b) Newton modificado e (c) Broyden, até que \|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| <10^{-5}. Vamos precisar definir o vetor função F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 e sua Jacobiana J, escolher um chute inicial (aqui usamos x^{(0)}=(0,0)), descrever cada algoritmo e, por fim, comparar número de iterações e os valores de x^{(k+1)}, \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\| e \|F(x^{(k+1)})\| ao final.
usando a fatoração fixa.
3. Atualizamos x^{(k+1)} e testamos \|\Delta x^{(k)}\|<10^{-5}.
Passo 5
Método de Broyden
Inicializo B^{(0)} = J\bigl(x^{(0)}\bigr).
Para cada iteração k:
a) Resolvo B^{(k)}\,\Delta x^{(k)} = -F\bigl(x^{(k)}\bigr).
b) Atualizo x^{(k+1)} = x^{(k)} + \Delta x^{(k)}.
c) Defino y^{(k)} = F\bigl(x^{(k+1)}\bigr) - F\bigl(x^{(k)}\bigr) e \,s^{(k)}=\Delta x^{(k)}.
d) Faço a atualização de Broyden