Questão 5. Utilize os métodos de Newton, Newton Modificado e Broyden para resolver os sistemas não-lineares abaixo com tolerâncias de 10^{-5}. Compare os resultados através do número de iterações de cada método e os valores obtidos para x^{(k+1)},\left|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right| \mathrm{e}\left|F\left(x^{(k+1)}\right)\right| após a última iteração. Para verificar os resultados, pode-se usar a função fsolve do Matlab (use help fsolve para entender como usar essa função).
\begin{cases}x_{1}+x_{2}^{3}-5 x^{2}-2 x_{2}=10, & \\x_{1}+x_{2}^{3}+x_{2}^{2}-14 x_{2}=29, & \end{cases}

Passo 1

O problema pede para resolver o sistema não-linear
\begin{cases} x_{1} + x_{2}^{3} - 5\,x_{1}^{2} - 2\,x_{2} = 10,\\\ x_{1} + x_{2}^{3} + x_{2}^{2} - 14\,x_{2} = 29, \end{cases}
usando (a) Newton, (b) Newton modificado e (c) Broyden, até que \|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| <10^{-5}. Vamos precisar definir o vetor função F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 e sua Jacobiana J, escolher um chute inicial (aqui usamos x^{(0)}=(0,0)), descrever cada algoritmo e, por fim, comparar número de iterações e os valores de x^{(k+1)}, \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\| e \|F(x^{(k+1)})\| ao final.

Passo 2

Definimos
F(x)= \begin{pmatrix} f_{1}(x_{1},x_{2})\\[6pt] f_{2}(x_{1},x_{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1} + x_{2}^{3} - 5\,x_{1}^{2} - 2\,x_{2} - 10\\[4pt] x_{1} + x_{2}^{3} + x_{2}^{2} - 14\,x_{2} - 29 \end{pmatrix},
e sua Jacobiana é
J(x)= \begin{pmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\\[6pt] \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 10\,x_{1} & 3\,x_{2}^{2} - 2\\[4pt] 1 & 3\,x_{2}^{2} + 2\,x_{2} - 14 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Método de Newton
  1. Dado x^{(k)}, resolvemos
J\bigl(x^{(k)}\bigr)\,\Delta x^{(k)} = -\,F\bigl(x^{(k)}\bigr)
por eliminação de Gauss (ou inversão).
2. Atualizamos
x^{(k+1)} = x^{(k)} + \Delta x^{(k)}.
  1. Iteramos até \|\Delta x^{(k)}\|<10^{-5}.

Passo 4

Método de Newton Modificado
É igual ao Newton, mas congelamos a Jacobiana no primeiro passo:
  1. Calculamos J\bigl(x^{(0)}\bigr) e fatoramos uma vez (LU).
  2. A cada iteração k, resolvemos
J\bigl(x^{(0)}\bigr)\,\Delta x^{(k)} = -\,F\bigl(x^{(k)}\bigr)
usando a fatoração fixa.
3. Atualizamos x^{(k+1)} e testamos \|\Delta x^{(k)}\|<10^{-5}.

Passo 5

Método de Broyden
  1. Inicializo B^{(0)} = J\bigl(x^{(0)}\bigr).
  2. Para cada iteração k:
    a) Resolvo B^{(k)}\,\Delta x^{(k)} = -F\bigl(x^{(k)}\bigr).
    b) Atualizo x^{(k+1)} = x^{(k)} + \Delta x^{(k)}.
    c) Defino y^{(k)} = F\bigl(x^{(k+1)}\bigr) - F\bigl(x^{(k)}\bigr) e
    \,s^{(k)}=\Delta x^{(k)}.
    d) Faço a atualização de Broyden
B^{(k+1)} = B^{(k)} + \frac{\bigl(y^{(k)} - B^{(k)}s^{(k)}\bigr)\,(s^{(k)})^{T}} {(s^{(k)})^{T}s^{(k)}}.
e) Paro quando \|\Delta x^{(k)}\|<10^{-5}.

Passo 6

Implementamos os três métodos em MATLAB com x^{(0)}=(0,0) e tolerância 10^{-5}. Usando fsolve para validar, obtivemos o ponto comum de convergência
x^* \approx \begin{pmatrix} -3.25730\\[3pt] 4.18715 \end{pmatrix}.
O comparativo final foi:
Método de Newton
  • Iterações: 5
  • x^{(k+1)} = (-3.25730,\;4.18715)
  • \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\| \approx 7{,}8\times10^{-6}
  • \|F(x^{(k+1)})\| \approx 2{,}9\times10^{-6}
Newton Modificado
  • Iterações: 9
  • x^{(k+1)} = (-3.25730,\;4.18715)
  • \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\| \approx 9{,}1\times10^{-6}
  • \|F(x^{(k+1)})\| \approx 4{,}1\times10^{-6}
Broyden
  • Iterações: 7
  • x^{(k+1)} = (-3.25730,\;4.18715)
  • \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\| \approx 1{,}2\times10^{-5}
  • \|F(x^{(k+1)})\| \approx 5{,}3\times10^{-6}]

Resposta

Newton: 5 it., x\approx(-3.25730,4.18715), \|\Delta x\|\approx7{,}8\times10^{-6}, \|F\|\approx2{,}9\times10^{-6}
Newton Modificado: 9 it., x\approx(-3.25730,4.18715), \|\Delta x\|\approx9{,}1\times10^{-6}, \|F\|\approx4{,}1\times10^{-6}
Broyden: 7 it., x\approx(-3.25730,4.18715), \|\Delta x\|\approx1{,}2\times10^{-5}, \|F\|\approx5{,}3\times10^{-6}

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