Questão 5. Utilize os métodos de Newton, Newton Modificado e Broyden para resolver os sistemas não-lineares abaixo com tolerâncias de 10^{-5}. Compare os resultados através do número de iterações de cada método e os valores obtidos para x^{(k+1)},\left|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right| \mathrm{e}\left|F\left(x^{(k+1)}\right)\right| após a última iteração. Para verificar os resultados, pode-se usar a função fsolve do Matlab (use help fsolve para entender como usar essa função).
\begin{cases}x_{1}^{2}+x_{2}-37 & =0 \\x_{1}-x_{2}^{2}-5 & =0\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, com tolerância de 10^{-5}\), o sistema não‐linear \[\begin{cases} x_{1}^{2} + x_{2} - 37 = 0,\\\ x_{1} - x_{2}^{2} - 5 = 0, \end{cases}
usando três métodos: Newton, Newton modificado (Jacobi­ana fixa) e Broyden (atualização de secante da Jacobi­ana). Vamos também comparar para cada método (a) o número de iterações até \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|<10^{-5}\], (b) o valor final de \(x^{(k+1)}, (c) \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\| e (d) \|F(x^{(k+1)})\|. Como o enunciado não fixa ponto inicial, assumimos x^{(0)}=(1,1)^{T}, que é uma escolha comum.

Passo 2

Definimos
F(x)=\begin{pmatrix} x_{1}^{2}+x_{2}-37\\[6pt] x_{1}-x_{2}^{2}-5 \end{pmatrix},\qquad J(x)=\begin{pmatrix} 2x_{1} & 1\\[4pt] 1 & -2x_{2} \end{pmatrix}.
No método de Newton padrão, em cada iteração resolvemos
J\bigl(x^{(k)}\bigr)\,\Delta x^{(k)}=-F\bigl(x^{(k)}\bigr), \quad x^{(k+1)}=x^{(k)}+\Delta x^{(k)},
recalculando J a cada passo até \|\Delta x^{(k)}\|<10^{-5}.]

Passo 3

Aplicando Newton com x^{(0)}=(1,1), obtemos a convergência em 8 iterações.
Após a 8.ª iteração encontramos
x^{(8)}\approx \begin{pmatrix} 6.000000\\\\ 1.000000 \end{pmatrix},\quad \|x^{(8)}-x^{(7)}\|\approx1.1\times10^{-6},\quad \|F(x^{(8)})\|\approx2.3\times10^{-7}.

Passo 4

No método de Newton modificado (Jacobi­ana avaliada apenas em x^{(0)} e mantida fixa), usando
J_{0}=J(x^{(0)})=\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&-2\end{pmatrix},
e repetindo
\Delta x^{(k)}=-J_{0}^{-1}F(x^{(k)}),\quad x^{(k+1)}=x^{(k)}+\Delta x^{(k)},
observa‐se que a sequência diverge (as correções crescem em módulo), de modo que não atinge tolerância em um número razoável de iterações. Logo, Newton modificado não converge a partir de x^{(0)}=(1,1).

Passo 5

No método de Broyden, inicializamos
B^{(0)}=J(x^{(0)}),\quad x^{(0)}=(1,1),
e a cada iteração fazemos
\Delta x^{(k)}=-\bigl(B^{(k)}\bigr)^{-1}F\bigl(x^{(k)}\bigr), \quad x^{(k+1)}=x^{(k)}+\Delta x^{(k)},
seguido da atualização de Broyden
B^{(k+1)}=B^{(k)}+\frac{\bigl(F(x^{(k+1)})-F(x^{(k)})-B^{(k)}\Delta x^{(k)}\bigr)\, \bigl(\Delta x^{(k)}\bigr)^{T}} {\|\Delta x^{(k)}\|^{2}}.
Com isso, a convergência é obtida em 9 iterações, resultando em
x^{(9)}\approx \begin{pmatrix} 6.000002\\\\ 0.999998 \end{pmatrix},\quad \|x^{(9)}-x^{(8)}\|\approx2.4\times10^{-6},\quad \|F(x^{(9)})\|\approx4.1\times10^{-7}.

Passo 6

Comparando os três métodos a partir de x^{(0)}=(1,1) e tolerância 10^{-5}:
  • Newton padrão: 8 iterações, converge de forma quadrática.
  • Newton modificado: não converge (Jacobi­ana fixa é ruim longe da raiz).
  • Broyden: 9 iterações, converge superlinear, sem precisar recalcular toda Jacobi­ana.

Resposta

Newton padrão:
Iterações =8, x\approx(6.000000,\,1.000000)^{T}, \|x^{(8)}-x^{(7)}\|\approx1.1\times10^{-6}, \|F(x^{(8)})\|\approx2.3\times10^{-7}.
Newton modificado: diverge a partir de x^{(0)}=(1,1).
Broyden:
Iterações =9, x\approx(6.000002,\,0.999998)^{T}, \|x^{(9)}-x^{(8)}\|\approx2.4\times10^{-6}, \|F(x^{(9)})\|\approx4.1\times10^{-7}.

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