Questão 5. Utilize os métodos de Newton, Newton Modificado e Broyden para resolver os sistemas não-lineares abaixo com tolerâncias de 10^{-5}. Compare os resultados através do número de iterações de cada método e os valores obtidos para x^{(k+1)},\left|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right| \mathrm{e}\left|F\left(x^{(k+1)}\right)\right| após a última iteração. Para verificar os resultados, pode-se usar a função fsolve do Matlab (use help fsolve para entender como usar essa função). \begin{cases}x_{1}^{2}+x_{2}-37 & =0 \\x_{1}-x_{2}^{2}-5 & =0\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede para resolver, com tolerância de 10^{-5}\), o sistema não‐linear
\[\begin{cases} x_{1}^{2} + x_{2} - 37 = 0,\\\ x_{1} - x_{2}^{2} - 5 = 0, \end{cases}
usando três métodos: Newton, Newton modificado (Jacobiana fixa) e Broyden (atualização de secante da Jacobiana). Vamos também comparar para cada método (a) o número de iterações até \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|<10^{-5}\], (b) o valor final de \(x^{(k+1)}, (c) \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\| e (d) \|F(x^{(k+1)})\|. Como o enunciado não fixa ponto inicial, assumimos x^{(0)}=(1,1)^{T}, que é uma escolha comum.
observa‐se que a sequência diverge (as correções crescem em módulo), de modo que não atinge tolerância em um número razoável de iterações. Logo, Newton modificado não converge a partir de x^{(0)}=(1,1).