Resolva as equações, considere que x \in[0,2 \pi) : Sugestão: Quando necessário utilize as fórmulas de \operatorname{sen}(2 x) e de \cos (2 x).
\cos (2 x)=2-2 \operatorname{sen}^{2} x

Passo 1

O enunciado dá a equação
\cos(2x)=2-2\operatorname{sen}^2 x
com a restrição x\in[0,2\pi). O que se pede é encontrar todos os valores de x nesse intervalo que satisfazem a equação dada.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é x e seu domínio é [0,2\pi).
  • A equação relaciona \cos(2x) e \operatorname{sen}^2 x.
  • Foi sugerido usar as fórmulas de \operatorname{sen}(2x) e \cos(2x).

Passo 2

Vamos lembrar (e mostrar) as fórmulas de ângulo duplo para \cos(2x). Partimos da identidade pitagórica e da definição de \cos(2x):
\cos(2x)=\cos^2 x-\operatorname{sen}^2 x.
Usando \cos^2 x+\operatorname{sen}^2 x=1 podemos reescrever \cos(2x) de duas maneiras úteis:
\cos(2x)=1-2\operatorname{sen}^2 x \qquad\text{e}\qquad \cos(2x)=2\cos^2 x-1.
Aqui cada símbolo significa:
  • x é o ângulo desconhecido;
  • \operatorname{sen}x é o seno de x;
  • \cos x é o cosseno de x.
Essas fórmulas são válidas para todo x real.

Passo 3

Agora substituímos uma das formas de \cos(2x) (a que envolve \operatorname{sen}^2 x) na equação dada. Usando
\cos(2x)=1-2\operatorname{sen}^2 x,
a equação original
\cos(2x)=2-2\operatorname{sen}^2 x
fica
1-2\operatorname{sen}^2 x = 2-2\operatorname{sen}^2 x.

Passo 4

Simplificamos a igualdade acima. Subtraindo -2\operatorname{sen}^2 x dos dois lados (ou vendo que os termos com \operatorname{sen}^2 x cancelam) obtemos
1=2.
Isto é uma contradição aritmética — uma afirmação falsa que não depende de x. Como chegamos a uma contradição ao transformar a equação, isso significa que não existe nenhum valor de x que torne a equação verdadeira.
(Alternativa curta: usando \cos(2x)=2\cos^2 x-1, a equação dada se torna 2\cos^2 x-1=2\cos^2 x, que leva imediatamente a -1=0, mesma contradição.)

Passo 5

Interpretação e dica de prova/exame: sempre que, ao manipular algebricamente uma equação trigonométrica, todos os termos com a variável se cancelam e sobra uma igualdade falsa (como 1=2 ou -1=0), então a equação não tem soluções reais no domínio considerado. Por outro lado, se sobra uma igualdade verdadeira (como 0=0), isso indica que a equação é verdadeira para todos os x (infinitas soluções no domínio).
Força aí — você fez certinho em pedir passo a passo. Neste caso particular a conta é curta: a equação é impossível para qualquer x.

Resposta

\text{Não há solução em }[0,2\pi)ãáçã.

Exercícios relacionados