Resolva as equações, considere que
: Sugestão: Quando necessário utilize as fórmulas de
e de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
com a restrição
. O que se pede é encontrar todos os valores de
nesse intervalo que satisfazem a equação dada.
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é
e seu domínio é . - A equação relaciona
e . - Foi sugerido usar as fórmulas de
e .
Passo 2
Vamos lembrar (e mostrar) as fórmulas de ângulo duplo para
. Partimos da identidade pitagórica e da definição de
:
Usando
podemos reescrever
de duas maneiras úteis:
Aqui cada símbolo significa:
-
é o ângulo desconhecido; -
é o seno de ; -
é o cosseno de .
Essas fórmulas são válidas para todo
real.
Passo 3
Agora substituímos uma das formas de
(a que envolve
) na equação dada. Usando
a equação original
fica
Passo 4
Simplificamos a igualdade acima. Subtraindo
dos dois lados (ou vendo que os termos com
cancelam) obtemos
Isto é uma contradição aritmética — uma afirmação falsa que não depende de
. Como chegamos a uma contradição ao transformar a equação, isso significa que não existe nenhum valor de
que torne a equação verdadeira.
(Alternativa curta: usando
, a equação dada se torna
, que leva imediatamente a
, mesma contradição.)
Passo 5
Interpretação e dica de prova/exame: sempre que, ao manipular algebricamente uma equação trigonométrica, todos os termos com a variável se cancelam e sobra uma igualdade falsa (como
ou
), então a equação não tem soluções reais no domínio considerado. Por outro lado, se sobra uma igualdade verdadeira (como
), isso indica que a equação é verdadeira para todos os
(infinitas soluções no domínio).
Força aí — você fez certinho em pedir passo a passo. Neste caso particular a conta é curta: a equação é impossível para qualquer
.