QUESTÃO - Utilize transformadas de Laplace e Convolução para resolver a seguinte equação:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
com condições iniciais
e
, usando transformada de Laplace e o teorema da convolução. Vamos usar:
- A transformada de Laplace de derivadas,
- A propriedade da transformada de Laplace de produto no domínio do s como convolução no tempo,
- As tabelas de transformada inversa.
Passo 2
Aplicamos transformada de Laplace em ambos os lados de
Pela linearidade e pelas fórmulas
e sabendo que
, obtemos
Passo 3
Agrupando
ficamos com
Passo 4
Note que
logo
Pela propriedade da convolução, se
então
onde
e
.
Passo 5
Calculamos as transformadas inversas separadamente:
Passo 6
Então
O primeiro integral é
No segundo, note que
Sabemos que
logo, de
a
,
Multiplicando por
dá
Passo 7
Substituindo de volta em
:
Reorganizando termos:
Ou, de forma compacta,