3^{\text {a }} QUESTÃO - Utilize transformadas de Laplace e Convolução para resolver a seguinte equação:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}=\operatorname{sen} t, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + y' = \operatorname{sen} t,
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0, usando transformada de Laplace e o teorema da convolução. Vamos usar:
  1. A transformada de Laplace de derivadas,
  2. A propriedade da transformada de Laplace de produto no domínio do s como convolução no tempo,
  3. As tabelas de transformada inversa.

Passo 2

Aplicamos transformada de Laplace em ambos os lados de
y'' + y' = \operatorname{sen} t.
Pela linearidade e pelas fórmulas
\mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - y(0),\quad \mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0),
e sabendo que \mathcal{L}\{\operatorname{sen} t\} = 1/(s^2+1), obtemos
s^2Y(s) - s\cdot0 - 0 \;+\; sY(s) - 0 \;=\; \frac{1}{s^2+1}.

Passo 3

Agrupando Y(s) ficamos com
Y(s)\,\bigl(s^2 + s\bigr) \;=\; \frac{1}{s^2+1} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) \;=\; \frac{1}{(s^2+s)\,(s^2+1)}.

Passo 4

Note que
\frac{1}{s^2+s} = \frac{1}{s(s+1)},
logo
Y(s) \;=\; \frac{1}{s(s+1)}\;\cdot\;\frac{1}{s^2+1}.
Pela propriedade da convolução, se
F(s)=\frac{1}{s(s+1)},\quad G(s)=\frac{1}{s^2+1},
então
y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\} = (f*g)(t) = \int_{0}^{t} f(t-\tau)\,g(\tau)\,d\tau,
onde f=\mathcal{L}^{-1}\{F\} e g=\mathcal{L}^{-1}\{G\}.

Passo 5

Calculamos as transformadas inversas separadamente:
F(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1} \;\Longrightarrow\; f(t) = 1 - e^{-t},
G(s)=\frac{1}{s^2+1} \;\Longrightarrow\; g(t) = \operatorname{sen} t.

Passo 6

Então
y(t) = \int_{0}^{t} \bigl(1 - e^{-(t-\tau)}\bigr)\,\operatorname{sen}\tau\,d\tau = \int_{0}^{t} \operatorname{sen}\tau\,d\tau \;-\; \int_{0}^{t} e^{-(t-\tau)}\operatorname{sen}\tau\,d\tau.
O primeiro integral é
\int_{0}^{t} \operatorname{sen}\tau\,d\tau = 1 - \cos t.
No segundo, note que
\int_{0}^{t} e^{-(t-\tau)}\operatorname{sen}\tau\,d\tau = e^{-t}\int_{0}^{t} e^{\tau}\operatorname{sen}\tau\,d\tau.
Sabemos que
\int e^{\tau}\operatorname{sen}\tau\,d\tau = \frac{e^{\tau}}{2}\bigl(\operatorname{sen}\tau - \cos\tau\bigr) + C,
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\int_{0}^{t} e^{\tau}\operatorname{sen}\tau\,d\tau = \frac{e^{t}}{2}\bigl(\operatorname{sen} t - \cos t\bigr) - \frac{1}{2}\bigl(0 - 1\bigr) = \frac{e^{t}}{2}(\operatorname{sen} t - \cos t) + \frac{1}{2}.
Multiplicando por e^{-t}
\int_{0}^{t} e^{-(t-\tau)}\operatorname{sen}\tau\,d\tau = \frac{1}{2}\bigl(\operatorname{sen} t - \cos t\bigr) + \frac{1}{2}e^{-t}.

Passo 7

Substituindo de volta em y(t):
y(t) = \bigl(1 - \cos t\bigr)\;-\;\Bigl[\tfrac12(\operatorname{sen} t - \cos t) + \tfrac12 e^{-t}\Bigr].
Reorganizando termos:
y(t) = 1 - \cos t - \tfrac12\operatorname{sen} t + \tfrac12\cos t - \tfrac12 e^{-t} = 1 - \tfrac12 e^{-t} - \tfrac12\operatorname{sen} t - \tfrac12\cos t.
Ou, de forma compacta,
y(t) = 1 \;-\;\frac{e^{-t} + \operatorname{sen} t + \cos t}{2}.

Resposta

\boxed{y(t) = 1 \;-\;\frac{e^{-t} + \operatorname{sen} t + \cos t}{2}.}

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