Resolva as EDO’s:
(b) y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+7 y=11 e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 8y' + 7y = 11e^x.
O conteúdo envolvido é o método de superposição: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois uma particular para o termo não-homogêneo.

Passo 2

Vamos resolver a parte homogênea
y'' - 8y' + 7y = 0.
A equação característica é
r^2 - 8r + 7 = 0,
cuja solução é
r = 1 \quad\text{ou}\quad r = 7.
Logo a solução homogênea é
y_h(x) = C_1 e^x + C_2 e^{7x}.

Passo 3

Para a solução particular, como o termo forçante é 11e^x e e^x já está na homogênea (raiz r=1), tentamos
y_p(x) = A x e^x.
Calculamos as derivadas:
y_p' = A e^x(x + 1), \qquad y_p'' = A e^x(x + 2).

Passo 4

Substituindo na EDO original:
y_p'' - 8y_p' + 7y_p = A e^x(x+2) - 8A e^x(x+1) + 7A x e^x = A e^x\bigl[(x+2)-8(x+1)+7x\bigr] = A e^x(-6) = -6A e^x.
Isso deve ser igual a 11e^x, logo
-6A = 11 \quad\Longrightarrow\quad A = -\frac{11}{6}.

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^x + C_2 e^{7x} - \frac{11}{6}\,x e^x.

Resposta

y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{7x} - \frac{11}{6}\,x e^x.

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