Questāo 1

Vale 1,00 ponto(s).
Ao calcular \int_{1}^{2}\left(x+2+\frac{4}{x}\right) d x com a regra do 1 / 3 de Simpson composta, qual o número minimo de subintervalos que garante um erro absoluto menor que 10^{-7} ?
a. 50 ◯
b. 47 ◯
c. 46 ◯
d. 49 ◯
e. 48 ◯

Passo 1

O enunciado pede: ao aproximar a integral \int_{1}^{2}\left(x+2+\dfrac{4}{x}\right)\,dx usando a regra composta de 1/3 de Simpson, qual o número mínimo de subintervalos que garante erro absoluto menor que 10^{-7}. Informações dadas e condições relevantes:
  • A função a integrar é f(x)=x+2+\dfrac{4}{x}.
  • O intervalo de integração é [1,2].
  • A tolerância para o erro absoluto é 10^{-7}.
  • Para a regra composta de Simpson o número de subintervalos n deve ser par.
  • Precisamos usar a fórmula de limite do erro da regra composta de Simpson para encontrar uma condição sobre n.

Passo 2

Apresento a fórmula do erro para a regra composta de Simpson (aquela que vou usar): seja h=\dfrac{b-a}{n} o comprimento de cada subintervalo. Existe um número M tal que M=\displaystyle\max_{x\in[a,b]} \left|f^{(4)}(x)\right|. Então a estimativa do erro absoluto E da regra composta de Simpson satisfaz
|E|\le \frac{b-a}{180}\,h^{4}\,M.
Explicando essa fórmula passo a passo, de forma prática:
  • b-a é o comprimento total do intervalo.
  • h é o tamanho de cada subintervalo (quanto menor h, menor o erro).
  • M é o maior valor absoluto da quarta derivada de f no intervalo; quanto maior M, maior o erro possível.
  • A constante 1/180 vem da análise teórica da regra de Simpson composta (não precisa memorizar a demonstração agora, basta saber usar a fórmula corretamente).
Nosso objetivo é impor
\frac{b-a}{180}\,h^{4}\,M < 10^{-7}
e daí resolver para n (lembrando que h=(b-a)/n e n deve ser par).

Passo 3

Calculo as derivadas necessárias para encontrar M.
A função é f(x)=x+2+\dfrac{4}{x}.
Derivando sucessivamente:
f'(x)=1-\dfrac{4}{x^{2}}
f''(x)=\dfrac{8}{x^{3}}
f^{(3)}(x)=-\dfrac{24}{x^{4}}
f^{(4)}(x)=\dfrac{96}{x^{5}}
Agora preciso do máximo de \left|f^{(4)}(x)\right|=\left|\dfrac{96}{x^{5}}\right| em [1,2]. Como x\mapsto \dfrac{96}{x^{5}} é decrescente para x>0, o máximo ocorre em x=1. Portanto
M=\max_{x\in[1,2]}\left|f^{(4)}(x)\right|= \frac{96}{1^{5}}=96.

Passo 4

Agora aplico a fórmula do erro com a=1, b=2 (logo b-a=1), M=96 e h=\dfrac{1}{n}. A condição é
\frac{1}{180}\,h^{4}\,96 < 10^{-7}.
Simplifico a constante:
\frac{96}{180}=\frac{16}{30}=\frac{8}{15}=0{,}533333\ldots
Então a desigualdade fica
h^{4} < 10^{-7}\cdot \frac{180}{96} = 10^{-7}\cdot \frac{15}{8} = 1{,}875\times 10^{-7}.

Passo 5

Resolvo para h. Tomando raiz quarta:
h < \left(1{,}875\times 10^{-7}\right)^{1/4}.
Faço a avaliação numérica passo a passo (para que você possa reproduzir sem calculadora, mantenho a lógica e depois o valor aproximado):
  • Escrevo 1{,}875= \dfrac{15}{8}.
  • Então h < \left(\dfrac{15}{8}\cdot 10^{-7}\right)^{1/4}.
    Numericamente,
\left(1{,}875\times 10^{-7}\right)^{1/4}\approx 0{,}02080\quad(\text{aprox.}).
Portanto
h < 0{,}02080.

Passo 6

Como h=\dfrac{1}{n}, a condição h<0{,}02080 equivale a
\frac{1}{n} < 0{,}02080\quad\Longrightarrow\quad n > \frac{1}{0{,}02080}\approx 48{,}07.
Logo n deve ser maior que 48{,}07. Mas lembrando a restrição da regra composta de Simpson: n tem de ser um número inteiro par. Assim o menor inteiro par que satisfaz é n=50 (pois 48 é par, mas 48<48{,}07 não atende; 49 é maior porém ímpar; então 50 é o primeiro par permitido).

Passo 7

Faço uma checagem rápida usando a estimativa de erro para n=48 e n=50 para ter certeza prática:
Para n=48:
h=\frac{1}{48},\qquad h^{4}=\left(\frac{1}{48}\right)^{4}=\frac{1}{48^{4}}.
O estimador de erro é
\frac{1}{180}\,h^{4}\,96 = \frac{96}{180}\cdot\frac{1}{48^{4}} \approx 1{,}003\times 10^{-7},
que é maior que 10^{-7} (logo n=48 não garante a tolerância).
Para n=50:
h=\frac{1}{50},\qquad h^{4}=\left(\frac{1}{50}\right)^{4}=\frac{1}{6{,}250{,}000}=1{,}6\times 10^{-7}.
O estimador de erro é
\frac{96}{180}\cdot 1{,}6\times 10^{-7}\approx 8{,}5333\times 10^{-8},
que é menor que 10^{-7}. Portanto n=50 funciona e é o menor par que satisfaz a condição.

Passo 8

Conclusão: o número mínimo de subintervalos pares que garante erro absoluto menor que 10^{-7} é n=50. Parabéns — já passou por toda a verificação rigorosa e entendeu de onde vem cada passo!

Resposta

a. 50

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