Qual a cota superior do módulo do erro da integraçāo da regra dos 3 / 8 de Simpson, com seis subintervalos, para calcular \int_{0}^{2} e^{x}+x^{5}-x^{3}+x-1 d x ? Usar quatro casas decimais.
a. 63.3928
b. 0.0564
c. 0.0764
d. 0.0664
e. 0.0464

Passo 1

O enunciado pede a cota superior do módulo do erro (ou seja, um limite superior para |E|) ao aproximar
\int_{0}^{2}\bigl(e^{x}+x^{5}-x^{3}+x-1\bigr)\,dx
pela regra composta de Simpson 3/8 usando seis subintervalos. Informações relevantes dadas:
a=0,\qquad b=2,\qquad n=6.
Calcular a cota superior do erro com quatro casas decimais. Não começamos a calcular ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Fórmula do erro para a regra de Simpson 3/8 composta (explicada passo a passo):
  • A regra de Simpson 3/8 simples, aplicada num bloco de comprimento 3h (três subintervalos de largura h), tem termo de erro (forma teórica)
E_{\text{bloco}} = -\frac{(3h)^{5}}{6480}\,f^{(4)}(\xi)
para algum \xi no bloco. Aqui f^{(4)} é a quarta derivada de f.
  • Se o intervalo inteiro [a,b] é dividido em n subintervalos com n múltiplo de 3, há n/3 blocos independentes. Tomando módulo e o máximo M=\max_{x\in[a,b]}|f^{(4)}(x)|, obtemos uma cota somando as cotas de cada bloco. Isso leva à fórmula composta
|E|\le \frac{(b-a)}{80}\,h^{4}\,M,
onde h=\dfrac{b-a}{n} e M=\max_{x\in[a,b]}|f^{(4)}(x)|.
Explicação das variáveis:
a,b: \text{extremos do intervalo};\quad n: \text{número de subintervalos (divisível por 3)};\quad h=\frac{b-a}{n}: \text{largura de cada subintervalo};úí
f^{(4)}: \text{quarta derivada de }f;\quad M=\max_{[a,b]}|f^{(4)}(x)|.

Passo 3

Calcular h para os dados:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{6}=\frac{1}{3}.
Agora precisamos de f^{(4)}(x). Começamos com f(x)=e^{x}+x^{5}-x^{3}+x-1 e derivamos passo a passo:
  • Primeira derivada:
f'(x)=e^{x}+5x^{4}-3x^{2}+1.
  • Segunda derivada:
f''(x)=e^{x}+20x^{3}-6x.
  • Terceira derivada:
f^{(3)}(x)=e^{x}+60x^{2}-6.
  • Quarta derivada:
f^{(4)}(x)=e^{x}+120x.
Expliquei cada passo: derivada de e^{x} é e^{x}; derivada de x^{5} é 5x^{4} e assim por diante.

Passo 4

Determinar M=\max_{x\in[0,2]}|f^{(4)}(x)|.
  • Observação: f^{(4)}(x)=e^{x}+120x é crescente em [0,2] porque sua derivada é e^{x}+120>0 em todo o intervalo. Logo o máximo ocorre em x=2.
  • Avaliando em x=2:
M=f^{(4)}(2)=e^{2}+120\cdot 2 = e^{2}+240.
  • Usando uma aproximação conhecida e^{2}\approx 7,38905609893065, obtemos
M\approx 7,38905609893065+240=247,38905609893065.

Passo 5

Aplicar a fórmula da cota composta:
|E|\le \frac{(b-a)}{80}\,h^{4}\,M.
Substituindo b-a=2 e h=\tfrac{1}{3}:
h^{4}=\left(\frac{1}{3}\right)^{4}=\frac{1}{81},
\frac{(b-a)}{80}\,h^{4}=\frac{2}{80}\cdot\frac{1}{81}=\frac{1}{3240}.
Portanto
|E|\le \frac{M}{3240}.

Passo 6

Calcular numericamente a cota:
|E|\le \frac{247,38905609893065}{3240}\approx 0,076354648\ldots
Arredondando para quatro casas decimais (regra de arredondamento): 0,07635\ldots 0,0764.
Comparando com as alternativas dadas, corresponde à alternativa (c).

Resposta

0,0764

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