Qual a cota superior do módulo do erro da integraçāo da regra dos
de Simpson, com seis subintervalos, para calcular
? Usar quatro casas decimais.
a. 63.3928
b. 0.0564
c. 0.0764
d. 0.0664
e. 0.0464
a. 63.3928
b. 0.0564
c. 0.0764
d. 0.0664
e. 0.0464
Passo 1
O enunciado pede a cota superior do módulo do erro (ou seja, um limite superior para
) ao aproximar
pela regra composta de Simpson
usando seis subintervalos. Informações relevantes dadas:
Calcular a cota superior do erro com quatro casas decimais. Não começamos a calcular ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Fórmula do erro para a regra de Simpson
composta (explicada passo a passo):
- A regra de Simpson
simples, aplicada num bloco de comprimento (três subintervalos de largura ), tem termo de erro (forma teórica)
para algum
no bloco. Aqui
é a quarta derivada de
.
- Se o intervalo inteiro
é dividido em subintervalos com múltiplo de , há blocos independentes. Tomando módulo e o máximo , obtemos uma cota somando as cotas de cada bloco. Isso leva à fórmula composta
onde
e
.
Explicação das variáveis:
Passo 3
Calcular
para os dados:
Agora precisamos de
. Começamos com
e derivamos passo a passo:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
Expliquei cada passo: derivada de
é
; derivada de
é
e assim por diante.
Passo 4
Determinar
.
- Observação:
é crescente em porque sua derivada é em todo o intervalo. Logo o máximo ocorre em . - Avaliando em
:
- Usando uma aproximação conhecida
, obtemos
Passo 5
Aplicar a fórmula da cota composta:
Substituindo
e
:
Portanto
Passo 6
Calcular numericamente a cota:
Arredondando para quatro casas decimais (regra de arredondamento):
→
.
Comparando com as alternativas dadas, corresponde à alternativa (c).