Problema
A poluição em lagos pode ser um problema sério, visto que são utilizados para recreação. A poluição resultante de esgoto e escoamento de quintais suburbanos carregados de fertilizantes e pesticidas (para evitar problemas com associações de moradores) pode representar um risco à segurança das pessoas. Geralmente, o interesse reside em saber quanto tempo levará para que a concentração de um determinado poluente diminua até um nível aceitável, se a concentração estiver acima dos níveis aceitáveis.
Um lago poluído apresenta uma concentração inicial de bactérias
partes
, enquanto o nível aceitável é de apenas
partes
. A concentração de bactéria diminuirá à medida que água limpa entrar no lago. A equação diferencial que rege a concentração
do poluente em função do tempo (em semanas) é dada por:
1- Para um passo de 3,5 semanas, determine determine a concentração do poluente após 7 semanas.
1.1.Utilizando o método de Euler
1.2. Utilizando o método de Euler Modificado
1.3- Utilizando o método de Runge Kutta de ordem 4
1.1.Utilizando o método de Euler
1.2. Utilizando o método de Euler Modificado
1.3- Utilizando o método de Runge Kutta de ordem 4
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e pede a concentração do poluente após 7 semanas usando passo
semanas com três métodos numéricos distintos. Dados e pedidos:
Informações relevantes:
- Equação reescrita como derivada:
. - Tempo inicial
. Queremos . - Passo
significa que teremos duas iterações: .
Pedidos:
1.1 Calcularcom o método de Euler explícito.
1.2 Calcularcom o método de Euler modificado (Heun / improved Euler).
1.3 Calcularcom o método de Runge–Kutta de ordem 4 (RK4).
Passo 2
Breve explicação do que vamos usar (aula rápida e prática)
- A função que dá a derivada é
. Repare que ela depende só de , não de explicitamente — é um ODE linear simples. - Fórmula do método de Euler explícito (passo de tempo
):
- Fórmula do Euler modificado (Heun, predictor-corrector):
- Fórmula do RK4:
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com
,
. Sempre que usar uma fórmula, explico o que cada termo representa.
Passo 3
Aplicando Euler com
:
Calculemos o fator:
Então o passo de
a
:
Passo 4
Aplicando novamente o mesmo fator:
Portanto, pelo método de Euler explícito obtemos
partes/
.
Passo 5
Agora Euler modificado. Começamos em
,
. Fórmulas:
Calculemos números:
Previsor:
Então
Agora o corretor:
Multiplicando:
logo
Passo 6
Repetimos a mesma rotina a partir de
.
Previsor:
Corretor:
Calcule:
Portanto
Arredondando de forma usual (partes inteiras),
partes/
.
Passo 7
RK4 usa quatro inclinações
por passo e combina com pesos
. Isso lhe dá precisão muito maior em ODE suaves como a nossa. Vou calcular as duas iterações detalhadamente.
Passo 8
Partindo de
:
Agora combine:
Somando os termos:
Multiplicando por
:
Logo
Passo 9
Agora partimos de
.
Combine para
:
Somando os
s (com os pesos) obtivemos numericamente a soma igual a aproximadamente
. Multiplicando por
dá cerca de
. Assim
Ou seja, pelo RK4 obtemos
partes/
.
Passo 10
Resumo intuitivo: o ODE tem solução exata
, que em
dá aproximadamente
. Note que o RK4 ficou muito próximo desse valor (diferença de algumas dezenas), o Euler modificado ficou um pouco acima, e o Euler explícito ficou mais afastado. Isso ilustra por que, quando possível, usar métodos de ordem superior (como RK4) dá maior precisão com poucos passos — útil na prova quando o número de passos for pequeno.
Resposta
1.1 Euler explícito:
partes/
1.2 Euler modificado (Heun): partes/
1.3 Runge–Kutta 4: partes/
1.2 Euler modificado (Heun):
1.3 Runge–Kutta 4: