Problema

A poluição em lagos pode ser um problema sério, visto que são utilizados para recreação. A poluição resultante de esgoto e escoamento de quintais suburbanos carregados de fertilizantes e pesticidas (para evitar problemas com associações de moradores) pode representar um risco à segurança das pessoas. Geralmente, o interesse reside em saber quanto tempo levará para que a concentração de um determinado poluente diminua até um nível aceitável, se a concentração estiver acima dos níveis aceitáveis.
Um lago poluído apresenta uma concentração inicial de bactérias 10^{7} partes / \mathrm{m}^{3}, enquanto o nível aceitável é de apenas 5 \times 10^{6} partes / \mathrm{m}^{3}. A concentração de bactéria diminuirá à medida que água limpa entrar no lago. A equação diferencial que rege a concentração C do poluente em função do tempo (em semanas) é dada por: \frac{d C}{d t}+0,06 C=0 \quad C(0)=10^{7}
1- Para um passo de 3,5 semanas, determine determine a concentração do poluente após 7 semanas.
1.1.Utilizando o método de Euler
1.2. Utilizando o método de Euler Modificado
1.3- Utilizando o método de Runge Kutta de ordem 4

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e pede a concentração do poluente após 7 semanas usando passo h=3{,}5 semanas com três métodos numéricos distintos. Dados e pedidos:
\frac{dC}{dt}+0{,}06\,C=0,\qquad C(0)=10^{7}.
Informações relevantes:
  • Equação reescrita como derivada: \displaystyle \frac{dC}{dt}=f(t,C)=-0{,}06\,C.
  • Tempo inicial t_0=0. Queremos C(7).
  • Passo h=3{,}5 significa que teremos duas iterações: t_0=0\to t_1=3{,}5\to t_2=7.
    Pedidos:
    1.1 Calcular C(7) com o método de Euler explícito.
    1.2 Calcular C(7) com o método de Euler modificado (Heun / improved Euler).
    1.3 Calcular C(7) com o método de Runge–Kutta de ordem 4 (RK4).

Passo 2

Breve explicação do que vamos usar (aula rápida e prática)
  • A função que dá a derivada é \displaystyle f(t,C)=-0{,}06\,C. Repare que ela depende só de C, não de t explicitamente — é um ODE linear simples.
  • Fórmula do método de Euler explícito (passo de tempo h):
C_{n+1}=C_n+h\,f(t_n,C_n).
  • Fórmula do Euler modificado (Heun, predictor-corrector):
\begin{aligned} k_1&=f(t_n,C_n),\\\ \tilde C&=C_n+h\,k_1\quad(\text{previsor}),\\\ k_2&=f(t_n+h,\tilde C),\\\ C_{n+1}&=C_n+\frac{h}{2}(k_1+k_2). \end{aligned}
  • Fórmula do RK4:
\begin{aligned} k_1&=f(t_n,C_n),\\\ k_2&=f\Big(t_n+\frac{h}{2},\,C_n+\frac{h}{2}k_1\Big),\\\ k_3&=f\Big(t_n+\frac{h}{2},\,C_n+\frac{h}{2}k_2\Big),\\\ k_4&=f(t_n+h,\,C_n+h\,k_3),\\\ C_{n+1}&=C_n+\frac{h}{6}\big(k_1+2k_2+2k_3+k_4\big). \end{aligned}
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com h=3{,}5, C_0=10^{7}. Sempre que usar uma fórmula, explico o que cada termo representa.

Passo 3

Aplicando Euler com f\text{(C)}=-0{,}06C:
C_{n+1}=C_n+h(-0{,}06C_n)=C_n\big(1-0{,}06h\big).
Calculemos o fator:
0{,}06\cdot h=0{,}06\cdot3{,}5=0{,}21, \qquad 1-0{,}06h=1-0{,}21=0{,}79.
Então o passo de t_0 a t_1:
C_1=C_0\cdot0{,}79=10^{7}\cdot0{,}79=7{,}900{,}000.

Passo 4

Aplicando novamente o mesmo fator:
C_2=C_1\cdot0{,}79=7{,}900{,}000\cdot0{,}79=6{,}241{,}000.
Portanto, pelo método de Euler explícito obtemos C(7)\approx6{,}241{,}000 partes/ \mathrm{m}^3.

Passo 5

Agora Euler modificado. Começamos em t_0=0, C_0=10^{7}. Fórmulas:
k_1=-0{,}06C_0,\qquad \tilde C=C_0+h k_1,\qquad k_2=-0{,}06\tilde C,
C_1=C_0+\frac{h}{2}(k_1+k_2).
Calculemos números:
k_1=-0{,}06\cdot10^{7}=-600{,}000.
Previsor:
\tilde C=10^{7}+3{,}5\cdot(-600{,}000)=10^{7}-2{,}100{,}000=7{,}900{,}000.
Então
k_2=-0{,}06\cdot7{,}900{,}000=-474{,}000.
Agora o corretor:
C_1=10^{7}+\frac{3{,}5}{2}\big(-600{,}000-474{,}000\big) =10^{7}+1{,}75\cdot(-1{,}074{,}000).
Multiplicando:
1{,}75\cdot1{,}074{,}000=1{,}879{,}500,
logo
C_1=10^{7}-1{,}879{,}500=8{,}120{,}500.

Passo 6

Repetimos a mesma rotina a partir de C_1=8{,}120{,}500.
k_1=-0{,}06\cdot8{,}120{,}500=-487{,}230.
Previsor:
\tilde C=8{,}120{,}500+3{,}5\cdot(-487{,}230)=8{,}120{,}500-1{,}705{,}305=6{,}415{,}195.
k_2=-0{,}06\cdot6{,}415{,}195=-384{,}911{,}7.
Corretor:
C_2=8{,}120{,}500+\frac{3{,}5}{2}(-487{,}230-384{,}911{,}7) =8{,}120{,}500+1{,}75\cdot(-872{,}141{,}7).
Calcule:
1{,}75\cdot872{,}141{,}7=1{,}526{,}247{,}975.
Portanto
C_2=8{,}120{,}500-1{,}526{,}247{,}975=6{,}594{,}252{,}025.
Arredondando de forma usual (partes inteiras), C(7)\approx6{,}594{,}252 partes/ \mathrm{m}^3.

Passo 7

RK4 usa quatro inclinações k_1,k_2,k_3,k_4 por passo e combina com pesos 1,2,2,1. Isso lhe dá precisão muito maior em ODE suaves como a nossa. Vou calcular as duas iterações detalhadamente.

Passo 8

Partindo de C_0=10^{7}:
k_1=-0{,}06\cdot10^{7}=-600{,}000.
C_0+\frac{h}{2}k_1=10^{7}+1{,}75\cdot(-600{,}000)=10^{7}-1{,}050{,}000=8{,}950{,}000.
k_2=-0{,}06\cdot8{,}950{,}000=-537{,}000.
C_0+\frac{h}{2}k_2=10^{7}+1{,}75\cdot(-537{,}000)=10^{7}-939{,}750=9{,}060{,}250.
k_3=-0{,}06\cdot9{,}060{,}250=-543{,}615.
C_0+h k_3=10^{7}+3{,}5\cdot(-543{,}615)=10^{7}-1{,}902{,}652{,}5=8{,}097{,}347{,}5.
k_4=-0{,}06\cdot8{,}097{,}347{,}5=-485{,}840{,}85.
Agora combine:
C_1=10^{7}+\frac{3{,}5}{6}\big(-600{,}000-2\cdot537{,}000-2\cdot543{,}615-485{,}840{,}85\big).
Somando os termos:
\text{soma}= -3{,}247{,}070{,}85.
Multiplicando por \displaystyle\frac{3{,}5}{6}=\frac{7}{12}:
\frac{7}{12}\cdot3{,}247{,}070{,}85=1{,}894{,}124{,}666\ldots
Logo
C_1=10^{7}-1{,}894{,}124{,}666\ldots =8{,}105{,}875{,}333\ldots

Passo 9

Agora partimos de C_1\approx8{,}105{,}875{,}333.
k_1=-0{,}06\cdot8{,}105{,}875{,}333=-486{,}352{,}52.
C_1+\frac{h}{2}k_1=8{,}105{,}875{,}333+1{,}75\cdot(-486{,}352{,}52)=8{,}105{,}875{,}333-851{,}116{,}91=7{,}254{,}758{,}423.
k_2=-0{,}06\cdot7{,}254{,}758{,}423=-435{,}285{,}5054.
C_1+\frac{h}{2}k_2=8{,}105{,}875{,}333+1{,}75\cdot(-435{,}285{,}5054)=8{,}105{,}875{,}333-761{,}749{,}63445=7{,}344{,}125{,}6989.
k_3=-0{,}06\cdot7{,}344{,}125{,}6989=-440{,}647{,}5419.
C_1+h k_3=8{,}105{,}875{,}333+3{,}5\cdot(-440{,}647{,}5419)=8{,}105{,}875{,}333-1{,}542{,}266{,}39665=6{,}563{,}608{,}93635.
k_4=-0{,}06\cdot6{,}563{,}608{,}93635=-393{,}816{,}53618.
Combine para C_2:
C_2=C_1+\frac{3{,}5}{6}\big(k_1+2k_2+2k_3+k_4\big).
Somando os ks (com os pesos) obtivemos numericamente a soma igual a aproximadamente -2{,}632{,}035{,}15086. Multiplicando por \frac{3{,}5}{6} dá cerca de -1{,}535{,}353{,}83800. Assim
C_2\approx8{,}105{,}875{,}333-1{,}535{,}353{,}838=6{,}570{,}521{,}495.
Ou seja, pelo RK4 obtemos C(7)\approx6{,}570{,}521{,}5 partes/ \mathrm{m}^3.

Passo 10

Resumo intuitivo: o ODE tem solução exata C(t)=10^{7}e^{-0{,}06t}, que em t=7 dá aproximadamente 10^{7}e^{-0{,}42}\approx6{,}570{,}460. Note que o RK4 ficou muito próximo desse valor (diferença de algumas dezenas), o Euler modificado ficou um pouco acima, e o Euler explícito ficou mais afastado. Isso ilustra por que, quando possível, usar métodos de ordem superior (como RK4) dá maior precisão com poucos passos — útil na prova quando o número de passos for pequeno.

Resposta

1.1 Euler explícito: 6{,}241{,}000 partes/ \mathrm{m}^3
1.2 Euler modificado (Heun): 6{,}594{,}252 partes/ \mathrm{m}^3
1.3 Runge–Kutta 4: 6{,}570{,}521{,}5 partes/ \mathrm{m}^3

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