4) Questão (vale 2,0 pontos)

Ar úmido a 38^{\circ} \mathrm{C} e 49 \% UR é aquecido em sua caldeira doméstica até 86^{\circ} \mathrm{C}. Quanto calor deve ser adicionado por metro cúbico de ar úmido inicial? E qual é o ponto de orvalho final do ar?

Passo 1

O enunciado dá ar úmido a T_{1}=38^\circ\mathrm{C} e 49\% de UR, aquecido até T_{2}=86^\circ\mathrm{C}. Precisamos achar:
– O calor adicionado por metro cúbico de ar úmido inicial.
– O ponto de orvalho final (isto é, a temperatura em que o vapor começaria a condensar, mantido o teor de umidade).
O conteúdo envolve psicro-metria: cálculo da pressão de vapor de saturação, razão de mistura \omega, entalpias e densidade do ar úmido, e inversão da equação de Tetens para o ponto de orvalho.

Passo 2

Calcular a pressão de vapor de saturação a T_{1} pela fórmula de Tetens:
p_{\text{sat}}(T) =0{,}61078\exp\!\biggl(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\biggr)\quad[\mathrm{kPa}]
Para T_{1}=38^\circ\mathrm{C}:
p_{\text{sat,1}} =0{,}61078\exp\!\bigl(\tfrac{17{,}27\cdot38}{38+237{,}3}\bigr) \approx6{,}62\\ \mathrm{kPa}
Como a UR é 49\%, a pressão de vapor real é
e_{1}=0{,}49\times6{,}62\approx3{,}247\\ \mathrm{kPa}
E a razão de mistura \omega é
\omega =0{,}622\,\frac{e_{1}}{P_{\text{atm}}-e_{1}} =0{,}622\,\frac{3{,}247}{101{,}325-3{,}247} \approx0{,}0206\\ \mathrm{kg_{vapor}/kg_{ar\\ seco}}

Passo 3

Para o calor necessário usamos a entalpia específica do ar úmido (por kg de ar seco):
h(T,\omega) =1{,}006\,T +\omega\bigl(2501+1{,}86\,T\bigr) \quad[\mathrm{kJ/kg_{ar\\ seco}}]
Como \omega é constante, a variação de entalpia por kg de ar seco é
\Delta h =h(T_{2},\omega)-h(T_{1},\omega) =1{,}006\,(T_{2}-T_{1}) +\omega\,1{,}86\,(T_{2}-T_{1})
Substituindo T_{2}-T_{1}=86-38=48:
\Delta h =1{,}006\cdot48 +0{,}0206\cdot1{,}86\cdot48 \approx48{,}29+1{,}84 =50{,}13\\ \mathrm{kJ/kg_{ar\\ seco}}

Passo 4

Precisamos de quantos kg de ar seco há em 1\\ \mathrm{m^3} nas condições iniciais. A equação para o volume específico por kg de ar seco é
v =\frac{R_{d}\,T_{1}}{P_{\text{atm}}}\,(1+1{,}607\,\omega)
com R_{d}=0,287\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}, T_{1}=38+273{,}15=311{,}15\\ \mathrm{K} e P_{\text{atm}}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
v =\frac{0,287\cdot311{,}15}{101{,}325}\,(1+1{,}607\cdot0{,}0206) \approx0{,}9117\\ \mathrm{m^3/kg_{ar\\ seco}}
Logo a massa de ar seco em 1\\ \mathrm{m^3} é
m_{da} =\frac{1}{v}\approx1{,}0967\\ \mathrm{kg_{ar\\ seco}}
O calor por metro cúbico é
Q =m_{da}\,\Delta h \approx1{,}0967\times50{,}13 \approx54{,}96\\ \mathrm{kJ/m^3}

Passo 5

No aquecimento não se remove nem adiciona vapor, então a pressão de vapor final e_{2}=e_{1}=3{,}247\\ \mathrm{kPa}. O ponto de orvalho T_{dp} satisfaz
e_{2} =0{,}61078\exp\!\biggl(\frac{17{,}27\,T_{dp}}{T_{dp}+237{,}3}\biggr)
Tomando ln dos dois lados e isolando T_{dp}, chega-se numericamente a
T_{dp}\approx25{,}4^\circ\mathrm{C}

Resposta

O calor a ser adicionado é aproximadamente 55{,}0\\ \mathrm{kJ} por metro cúbico de ar úmido inicial, e o ponto de orvalho final fica em cerca de 25{,}4^\circ\mathrm{C}.

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