QUESTÃO 4 (VALOR 2,5) Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) e justifique sua resposta.
a) O vetor
pertence ao subgrupo gerado por
e
b) Se
então
, ou seja, o subespaço gerado por
està contido no espaço gerado por
.
a) O vetor
b) Se
Passo 1
O enunciado tem duas afirmações sobre vetores em
e subespaços gerados (spans).
Conteúdo: conceito de subespaço vetorial gerado por um conjunto e teste de pertinência a esse subespaço.
Conteúdo: conceito de subespaço vetorial gerado por um conjunto e teste de pertinência a esse subespaço.
Passo 2
Para a letra (a), queremos ver se existe
tais que
Isso gera o sistema
Passo 3
Da segunda equação, dividindo por
, obtemos
logo
. Substituindo em
, dá
e então
.
Passo 4
Verificando na terceira equação:
mas deveria dar
. Há contradição, logo não existem
que resolvam o sistema. A afirmação (a) é Falsa.
Passo 5
Para a letra (b), pelo definição de subespaço gerado,
é o conjunto de todas combinações lineares de vetores de
, e o mesmo para
. Se
, qualquer combinação linear de vetores de
também é combinação linear de vetores de
. Daí segue
A afirmação (b) é Verdadeira.
Resposta
a) F
b) V
b) V