QUESTÃO 4 (VALOR 2,5) Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) e justifique sua resposta.
a) O vetor w=(1,-1,2) pertence ao subgrupo gerado por U=(1,2,3) e V=(3,2,1)
b) Se X subset Y então lang<= Xrang<= subsetlang<= Yrang<=, ou seja, o subespaço gerado por X està contido no espaço gerado por Y.

Passo 1

O enunciado tem duas afirmações sobre vetores em R^3 e subespaços gerados (spans).
Conteúdo: conceito de subespaço vetorial gerado por um conjunto e teste de pertinência a esse subespaço.

Passo 2

Para a letra (a), queremos ver se existe alpha,betainR tais que
alpha(1,2,3)+beta(3,2,1)=(1,-1,2)
Isso gera o sistema
alpha + 3beta = 1,
2alpha + 2beta = -1,
3alpha + beta = 2

Passo 3

Da segunda equação, dividindo por 2, obtemos
alpha + beta = -tfrac12,
logo alpha = -tfrac12 - beta. Substituindo em alpha + 3beta = 1, dá
-tfrac12 - beta + 3beta = 1 Longrightarrow 2beta = tfrac32 Longrightarrow beta = tfrac34,
e então alpha = -tfrac12 - tfrac34 = -tfrac54.

Passo 4

Verificando na terceira equação:
3alpha + beta = 3l(-tfrac54r) + tfrac34 = -tfrac154 + tfrac34 = -3,
mas deveria dar 2. Há contradição, logo não existem alpha,beta que resolvam o sistema. A afirmação (a) é Falsa.

Passo 5

Para a letra (b), pelo definição de subespaço gerado, lang<= Xrang<= é o conjunto de todas combinações lineares de vetores de X, e o mesmo para lang<= Yrang<=. Se Xsubset Y, qualquer combinação linear de vetores de X também é combinação linear de vetores de Y. Daí segue
lang<= Xrang<= subset lang<= Yrang<=
A afirmação (b) é Verdadeira.

Resposta

a) F
b) V

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