Questão 1. (Valor 2,0) Calcule o valor aproximado \bar{x} para x=0.1234 quando x é convertido para o sistema de ponto flutuante \mathrm{F}(2,6,-31,32). Apresente o valor final com arredondamento para 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o valor aproximado \bar{x} para x=0,1234 ao converter x para o sistema de ponto flutuante \mathrm{F}(2,6,-31,32) e que o resultado final seja apresentado com arredondamento para 4 casas decimais. Informações dadas:
  • base: \beta=2;
  • precisão: t=6 dígitos significativos (em base 2);
  • expoente mínimo: e_{\min}=-31;
  • expoente máximo: e_{\max}=32;
  • número original: x=0,1234 (decimal).
    A tarefa é encontrar a representação em \mathrm{F}(2,6,-31,32) de x e depois dar \bar{x} em decimal, arredondado para 4 casas.

Passo 2

Explicando o formato e como vamos proceder (passo didático):
  • Em \mathrm{F}(\beta,t,e_{\min},e_{\max}) uma máquina normalizada em base \beta representa números na forma
\pm(d_1.d_2d_3\ldots d_t)_{\beta}\times\beta^{e},
onde d_1\neq 0 (temos t dígitos significativos no total, contando d_1). No caso \beta=2, sempre d_1=1 para números normalizados diferentes de zero; assim a mantissa tem a forma 1.f_1f_2\ldots f_{t-1} (um 1 seguido de t-1 bits fracionais).
  • Aqui t=6, então a mantissa terá 1 seguido de 5 bits fracionais: 1.f_1f_2f_3f_4f_5.
  • Nosso plano: (a) obter a expansão binária de x (bits depois do ponto); (b) normalizar para a forma 1.\text{(5 bits)}\times2^{e}; (c) aplicar arredondamento para t=6 dígitos (arredondamento para o mais próximo representável); (d) converter de volta para decimal e arredondar o resultado final para 4 casas decimais.
  • Observação sobre arredondamento: vamos usar arredondamento para o mais próximo (round-to-nearest). Para decidir se aumentamos a mantissa, olhamos o bit imediatamente após os t dígitos (bit de guarda) e os bits seguintes.

Passo 3

Vamos obter a expansão binária de x=0,1234 usando multiplicações sucessivas por 2. Em cada passo, o inteiro obtido é o próximo bit binário. Vou mostrar os primeiros bits suficientes para decidir o arredondamento.
Começamos com r_0=0,1234.
  1. r_0\cdot2 = 0,2468 \Rightarrow bit b_1=0.
  2. 0,2468\cdot2 = 0,4936 \Rightarrow bit b_2=0.
  3. 0,4936\cdot2 = 0,9872 \Rightarrow bit b_3=0.
  4. 0,9872\cdot2 = 1,9744 \Rightarrow bit b_4=1, resto 0,9744.
  5. 0,9744\cdot2 = 1,9488 \Rightarrow bit b_5=1, resto 0,9488.
  6. 0,9488\cdot2 = 1,8976 \Rightarrow bit b_6=1, resto 0,8976.
  7. 0,8976\cdot2 = 1,7952 \Rightarrow bit b_7=1, resto 0,7952.
  8. 0,7952\cdot2 = 1,5904 \Rightarrow bit b_8=1, resto 0,5904.
  9. 0,5904\cdot2 = 1,1808 \Rightarrow bit b_9=1, resto 0,1808.
  10. 0,1808\cdot2 = 0,3616 \Rightarrow bit b_{10}=0.
  11. 0,3616\cdot2 = 0,7232 \Rightarrow bit b_{11}=0.
  12. 0,7232\cdot2 = 1,4464 \Rightarrow bit b_{12}=1, resto 0,4464.
  13. 0,4464\cdot2 = 0,8928 \Rightarrow bit b_{13}=0.
  14. 0,8928\cdot2 = 1,7856 \Rightarrow bit b_{14}=1, resto 0,7856.
    (chegou-se a bits suficientes para decidir arredondamento)
Portanto a expansão binária de x começa
x = 0,\,b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 b_6 b_7 b_8 b_9 b_{10}\ldots_2 = 0,\,0\,0\,0\,1\,1\,1\,1\,1\,1\,0\ldots_2.

Passo 4

Normalização e escolha dos t=6 dígitos:
  • Para normalizar, precisamos de um fator 2^{e} de modo que a mantissa comece com 1.. Observando os primeiros bits, o primeiro 1 aparece em b_4. Isso significa que ao multiplicar x por 2^{4} obtemos algo entre 1 e 2. Logo
x = 1.\underbrace{b_5 b_6 b_7 b_8 b_9\ldots}_{\text{bits fracionários}}\times 2^{-4}.á
  • Como t=6, a representação exigirá 6 dígitos significativos: d_1.d_2d_3d_4d_5d_6 em base 2. Em base 2 com normalização d_1=1. Assim os dígitos correspondem a
d_1 = b_4 = 1,\quad d_2=b_5,\\ d_3=b_6,\\ d_4=b_7,\\ d_5=b_8,\\ d_6=b_9.
Usando os bits obtidos:
d_1d_2d_3d_4d_5d_6 = 1\,1\,1\,1\,1\,1.
Ou seja, a mantissa truncada sem arredondamento é 1.11111_2 (onde os cinco bits fracionários são todos 1).
Decisão de arredondamento:
  • O próximo bit (bit de guarda) é b_{10}=0. Em round-to-nearest, se o bit de guarda for 0, não arredondamos para cima (a menos que tenhamos um caso de empate exatamente no meio, o que não ocorre aqui). Mesmo que existam bits 1 após o bit de guarda, como o bit de guarda é 0 o valor adicional é menor que metade da unidade na última posição representável (ULP), então não devemos incrementar a mantissa.
  • Conclusão: a representação em \mathrm{F}(2,6,-31,32) mais próxima é
\bar{x} = (1.11111)_2\times 2^{-4}.

Passo 5

Converter a representação para decimal para obter o valor aproximado \bar{x}:
  • Primeiro avaliamos o valor da mantissa binária:
(1.11111)_2 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}.
A soma dos termos fracionários é
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32} = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}.
Então
(1.11111)_2 = 1 + \frac{31}{32} = \frac{63}{32}.
  • Multiplicando pelo fator 2^{-4}=\frac{1}{16}:
\bar{x} = \frac{63}{32}\times\frac{1}{16} = \frac{63}{512}.
  • Agora em decimal:
\frac{63}{512} = 0,123046875.
(essa divisão pode ser verificada: 0,123046875\times512=63.)

Passo 6

Arredondamento final para 4 casas decimais:
  • Queremos \bar{x} com 4 casas decimais. Temos \bar{x}=0,123046875.
  • As primeiras quatro casas decimais são 0,1230; o quinto decimal é 4 (menor que 5), então ao arredondar para 4 casas mantemos 0,1230.
  • Resultado final com 4 casas decimais: 0,1230.

Resposta

\bar{x}=0,1230

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