[Valor 0,625 ] Considere
.
a) A funçåo
gera uma sequència convergente em
se
?
b) Considerando
, calcule 3 iterąçóes pelo método do ponto fixo.
c) Considerando
, calcule 3 iteraçöes pelo método de Newton-Raphson.
a) A funçåo
b) Considerando
c) Considerando
Passo 1
O enunciado dá a função
e define a função iterativa
Pede-se:
a) verificar se a iteração gera uma sequência convergente em
quando
;\n
b) calcular 3 iterações de a partir de
;\n
c) calcular 3 iterações pelo método de Newton-Raphson para resolver com
.\n
Informações relevantes dadas: a expressão de , a expressão de
e o valor inicial
. A resolução começa a seguir.
a) verificar se a iteração
b) calcular 3 iterações de
c) calcular 3 iterações pelo método de Newton-Raphson para resolver
Informações relevantes dadas: a expressão de
Passo 2
Intuito didático: para decidir se a iteração converge em
vamos usar a ideia de ponto fixo e a condição de contração. Aqui vai uma explicação passo a passo do que precisamos checar.
Definição (intuitiva) de ponto fixo: um número
é ponto fixo de
se
. Se a iteração
converge, o limite deve ser um ponto fixo.
Teorema útil (versão prática): se
é contínua em
, mapeia
em si mesmo (isto é,
) e existe
tal que
para todo
, então
é uma contração em
e a iteração converge para o único ponto fixo em
para qualquer
. Esse resultado é o Teorema do Ponto Fixo de Banach (intuitivamente: uma função que “puxa” valores para perto com taxa menor que 1 garante convergência).
Agora aplicamos isso ao nosso
.
Passo 3
Verificação 1: calcular a derivada de
e seu máximo em
.
A derivada é
Para
temos
, logo
Portanto
em todo
. Isso mostra que
é uma contração com constante
.
Explicação didática rápida:
mede localmente quanto
“estica” o intervalo. Se
é menor do que 1 em todo o intervalo, cada iteração reduz as diferenças entre pontos — por isso converge.
Passo 4
Verificação 2: mostrar que
mapeia
em si mesmo, isto é,
.
Calculemos os extremos:
Para
temos
, então
Portanto
leva
dentro de si.
Passo 5
Conclusão teórica para (a): como
é contínua em
,
e
, pelo Teorema do Ponto Fixo a iteração
converge para o único ponto fixo em
para qualquer
. Logo, com
a sequência converge.
Além disso, o ponto fixo é solução de
, ou seja
que são as raízes de
. Aplicando a fórmula quadrática obtemos as raízes
Numericamente
Destas, apenas
está em
, então a iteração converge para esse valor.
Passo 6
Agora vamos calcular explicitamente as 3 primeiras iterações do método do ponto fixo com
. A fórmula de iteração é
Vou mostrar as contas detalhadas para cada iteração (mastigado, como combinamos).
Passo 7
Iteração 1 (ponto fixo):
Passo 8
Iteração 2 (ponto fixo):
Calcule primeiro . Uma maneira prática é:
Calcule primeiro
Então
Passo 9
Iteração 3 (ponto fixo):
Calcule . Usando multiplicação,
Calcule
Então
Perceba que os valores se aproximam do ponto fixo
.
Passo 10
Agora vamos ao método de Newton-Raphson para resolver
. Vou explicar a fórmula e aplicar 3 iterações.
Regra de Newton-Raphson: dada
diferenciável, a iteração é
Aqui
, então
A ideia: aproximamos a curva por sua tangente e vamos para a raiz dessa tangente — geralmente converge muito rápido se começamos razoavelmente próximos da raiz.
Passo 11
Iteração 1 (Newton):
Calcule e
:
Calcule
Então
Note que
, e
, daí
Passo 12
Iteração 2 (Newton):
Usamos . Primeiro calculos intermédios (mostrando como obter):
Usamos
Portanto
Passo 13
Iteração 3 (Newton):
Com podemos usar a aproximação linear para ver que já estamos muito perto da raiz exata
. Para completar a iteração:
estimando por linearização obtemos um valor muito pequeno da ordem de
, e assim
Com
estimando
que corresponde ao valor da raiz
arredondado (Newton já nos levou praticamente ao valor exato na terceira iteração).
Resposta
a) Sim. Converge para o ponto fixo
.\n
b) ,
,
.\n
c) ,
,
.
b)
c)