[Valor 0,625] Considere o sistema linear \left\{\begin{array}{c}5 x_{1}+x_{2}=12 \\\\ 2 x_{1}+6 x_{2}=13\end{array}\right.
a) Resolva o sistema utilizando Fatoraçalo LU.
b) Utilize o critério das linhas para verificar a convergência por Gauss-Jacobi.
c) Utilizando o método de Gauss-Jacobi com X^{(0)}=\left(\begin{array}{rr}5 & 5\end{array}\right)^{T}, calcule X^{(3)}.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\begin{cases} 5x_{1}+x_{2}=12,\\[4pt] 2x_{1}+6x_{2}=13. \end{cases}
Pede:
a) Resolver o sistema usando fatoração LU (ou seja, escrever A=LU e resolver LUx=b).
b) Usar o critério das linhas (critério de dominância diagonal por linhas) para verificar se o método de Gauss–Jacobi converge.
c) Aplicar o método de Gauss–Jacobi com X^{(0)}=\begin{pmatrix}5\\[2pt]5\end{pmatrix} e calcular X^{(3)} (terceira iteração).]

Passo 2

Montagem da matriz do sistema e ideia de LU. A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}5 & 1\\[2pt]2 & 6\end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}12\\[2pt]13\end{pmatrix}.
Explicação rápida (didática) do que é fatoração LU: queremos escrever A como produto de uma matriz triangular inferior L com diagonal unitária e uma triangular superior U, ou seja
A = L U,
onde
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]\ell_{21} & 1\end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\[2pt]0 & u_{22}\end{pmatrix}.
Para matrizes 2\times2 o procedimento é simples: escolhemos u_{11}=a_{11}, \ell_{21}=a_{21}/u_{11}, depois u_{12}=a_{12} e u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}. Vou aplicar isso passo a passo.]

Passo 3

Cálculo de L e U.
Usando o procedimento do passo anterior:
u_{11}=a_{11}=5.
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{2}{5}.
u_{12}=a_{12}=1.
u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}=6-\frac{2}{5}\cdot 1=6-\frac{2}{5}=\frac{30-2}{5}=\frac{28}{5}.
Portanto
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]\dfrac{2}{5} & 1\end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix}5 & 1\\[2pt]0 & \dfrac{28}{5}\end{pmatrix}.
Verificação rápida (opcional): multiplicando L por U volta-se a A.]

Passo 4

Resolver LUx=b em duas etapas: primeiro Ly=b (substituição direta/forward), depois Ux=y (substituição regressiva/backward).
Escrevendo y=\begin{pmatrix}y_{1}\\[2pt]y_{2}\end{pmatrix}, da equação Ly=b temos
\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]\dfrac{2}{5} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_{1}\\[2pt]y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12\\[2pt]13\end{pmatrix}.
Da primeira linha: y_{1}=12.
Da segunda linha: \dfrac{2}{5}y_{1}+y_{2}=13, então
y_{2}=13-\frac{2}{5}\,y_{1}=13-\frac{2}{5}\cdot 12.
Calculemos explicitamente:
\frac{2}{5}\cdot 12=\frac{24}{5}, \qquad y_{2}=13-\frac{24}{5}=\frac{65-24}{5}=\frac{41}{5}.
Logo
y=\begin{pmatrix}12\\[2pt]\dfrac{41}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver Ux=y. Escrevendo x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\end{pmatrix} e usando
\begin{pmatrix}5 & 1\\[2pt]0 & \dfrac{28}{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12\\[2pt]\dfrac{41}{5}\end{pmatrix},
fazemos substituição regressiva: da segunda linha
\frac{28}{5}\,x_{2}=\frac{41}{5}\quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{\frac{41}{5}}{\frac{28}{5}}=\frac{41}{28}.
Da primeira linha
5x_{1}+1\cdot x_{2}=12\quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{12-x_{2}}{5}.
Substituindo x_{2}=\dfrac{41}{28}:
12-\frac{41}{28}=\frac{336-41}{28}=\frac{295}{28}, \qquad x_{1}=\frac{\frac{295}{28}}{5}=\frac{295}{140}=\frac{59}{28}.
Portanto a solução exata do sistema é
x=\begin{pmatrix}\dfrac{59}{28}\\[6pt]\dfrac{41}{28}\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}2,10714\\[2pt]1,46429\end{pmatrix}.]

Passo 6

Critério das linhas para convergência do método de Gauss–Jacobi (explicação didática):
Dado A=(a_{ij}), se para todo i se tem
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|
(entende-se: o módulo do termo diagonal é estritamente maior que a soma dos módulos dos outros elementos da mesma linha), então A é estritamente diagonal dominante por linhas e o método de Gauss–Jacobi converge para a solução, para qualquer chute inicial. Aplicarei esse critério ao nosso A.

Passo 7

Aplicando o critério ao nosso A=\begin{pmatrix}5 & 1\\[2pt]2 & 6\end{pmatrix}:
  • Para a linha 1: |a_{11}|=5 e \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|1|=1. Como 5>1, a linha 1 é estritamente dominante.
  • Para a linha 2: |a_{22}|=6 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=|2|=2. Como 6>2, a linha 2 é estritamente dominante.
Como ambas as linhas satisfazem a condição, A é estritamente diagonal dominante por linhas e, portanto, o método de Gauss–Jacobi converge para a solução independentemente do chute inicial.]

Passo 8

Fórmula do método de Gauss–Jacobi (dedução e forma prática). Para cada linha i,
x_{i}^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_{i}-\sum_{j\neq i}a_{ij}\,x_{j}^{(k)}\Bigr).
No nosso caso, com duas equações, as fórmulas ficam
x_{1}^{(k+1)}=\frac{1}{5}\bigl(12 - 1\cdot x_{2}^{(k)}\bigr), \qquad x_{2}^{(k+1)}=\frac{1}{6}\bigl(13 - 2\cdot x_{1}^{(k)}\bigr).
Agora aplicamos com X^{(0)}=\begin{pmatrix}5\\[2pt]5\end{pmatrix}.]

Passo 9

Cálculo de X^{(1)} (primeira iteração).
Usando x_{1}^{(1)}=\dfrac{1}{5}(12-x_{2}^{(0)}) e x_{2}^{(1)}=\dfrac{1}{6}(13-2x_{1}^{(0)}) com x_{1}^{(0)}=5,\;x_{2}^{(0)}=5:
x_{1}^{(1)}=\frac{1}{5}(12-5)=\frac{7}{5}, \qquad x_{2}^{(1)}=\frac{1}{6}(13-2\cdot 5)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
Logo
X^{(1)}=\begin{pmatrix}\dfrac{7}{5}\\[6pt]\dfrac{1}{2}\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}1,4\\[2pt]0,5\end{pmatrix}.]

Passo 10

Cálculo de X^{(2)} (segunda iteração).
Agora usamos X^{(1)} nas fórmulas:
x_{1}^{(2)}=\frac{1}{5}\Bigl(12-\frac{1}{2}\Bigr)=\frac{1}{5}\cdot\frac{23}{2}=\frac{23}{10},
x_{2}^{(2)}=\frac{1}{6}\Bigl(13-2\cdot\frac{7}{5}\Bigr)=\frac{1}{6}\cdot\frac{51}{5}=\frac{51}{30}=\frac{17}{10}.
Portanto
X^{(2)}=\begin{pmatrix}\dfrac{23}{10}\\[6pt]\dfrac{17}{10}\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}2,3\\[2pt]1,7\end{pmatrix}.]

Passo 11

Cálculo de X^{(3)} (terceira iteração).
Usando X^{(2)}:
x_{1}^{(3)}=\frac{1}{5}\Bigl(12-\frac{17}{10}\Bigr)=\frac{1}{5}\cdot\frac{103}{10}=\frac{103}{50},
x_{2}^{(3)}=\frac{1}{6}\Bigl(13-2\cdot\frac{23}{10}\Bigr)=\frac{1}{6}\cdot\frac{84}{10}=\frac{84}{60}=\frac{7}{5}.
Em decimal com vírgula:
X^{(3)}=\begin{pmatrix}\dfrac{103}{50}\\[6pt]\dfrac{7}{5}\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}2,06\\[2pt]1,4\end{pmatrix}.]

Resposta

a) \displaystyle x=\begin{pmatrix}\dfrac{59}{28}\\[6pt]\dfrac{41}{28}\end{pmatrix}
b) Converge — A é estritamente diagonal dominante por linhas ( |5|>1 e |6|>2).
c) \displaystyle X^{(3)}=\begin{pmatrix}\dfrac{103}{50}\\[6pt]\dfrac{7}{5}\end{pmatrix}]

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