[Valor 0,625] Considere o sistema linear \left\{\begin{array}{c}5 x_{1}+x_{2}=12 \\\\ 2 x_{1}+6 x_{2}=13\end{array}\right.
a) Resolva o sistema utilizando Fatoraçalo LU.
b) Utilize o critério das linhas para verificar a convergência por Gauss-Jacobi.
c) Utilizando o método de Gauss-Jacobi com X^{(0)}=\left(\begin{array}{rr}5 & 5\end{array}\right)^{T}, calcule X^{(3)}.
Pede:
a) Resolver o sistema usando fatoração LU (ou seja, escrever A=LU e resolver LUx=b).
b) Usar o critério das linhas (critério de dominância diagonal por linhas) para verificar se o método de Gauss–Jacobi converge.
c) Aplicar o método de Gauss–Jacobi com X^{(0)}=\begin{pmatrix}5\\[2pt]5\end{pmatrix} e calcular X^{(3)} (terceira iteração).]
Passo 2
Montagem da matriz do sistema e ideia de LU. A matriz dos coeficientes é
Explicação rápida (didática) do que é fatoração LU: queremos escrever A como produto de uma matriz triangular inferior L com diagonal unitária e uma triangular superior U, ou seja
Para matrizes 2\times2 o procedimento é simples: escolhemos u_{11}=a_{11}, \ell_{21}=a_{21}/u_{11}, depois u_{12}=a_{12} e u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}. Vou aplicar isso passo a passo.]
Passo 3
Cálculo de L e U.
Usando o procedimento do passo anterior:
Critério das linhas para convergência do método de Gauss–Jacobi (explicação didática):
Dado A=(a_{ij}), se para todo i se tem
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|
(entende-se: o módulo do termo diagonal é estritamente maior que a soma dos módulos dos outros elementos da mesma linha), então A é estritamente diagonal dominante por linhas e o método de Gauss–Jacobi converge para a solução, para qualquer chute inicial. Aplicarei esse critério ao nosso A.
Passo 7
Aplicando o critério ao nosso A=\begin{pmatrix}5 & 1\\[2pt]2 & 6\end{pmatrix}:
Para a linha 1: |a_{11}|=5 e \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|1|=1. Como 5>1, a linha 1 é estritamente dominante.
Para a linha 2: |a_{22}|=6 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=|2|=2. Como 6>2, a linha 2 é estritamente dominante.
Como ambas as linhas satisfazem a condição, A é estritamente diagonal dominante por linhas e, portanto, o método de Gauss–Jacobi converge para a solução independentemente do chute inicial.]
Passo 8
Fórmula do método de Gauss–Jacobi (dedução e forma prática). Para cada linha i,
a) \displaystyle x=\begin{pmatrix}\dfrac{59}{28}\\[6pt]\dfrac{41}{28}\end{pmatrix}
b) Converge — A é estritamente diagonal dominante por linhas (|5|>1 e |6|>2).
c) \displaystyle X^{(3)}=\begin{pmatrix}\dfrac{103}{50}\\[6pt]\dfrac{7}{5}\end{pmatrix}]