Questão 2. (Valor 2,0) Encontre o conjunto gerado pelos seguintes vetores:
$\mathrm{W}=[(1,0,2),(2,2,1),(4,2,5),(-1,-2,1)]

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de R^3 gerado pelos vetores
v1=(1,0,2), v2=(2,2,1), v3=(4,2,5), v4=(-1,-2,1)
O conteúdo envolvido é combinação linear, dependência linear e base de um subespaço.

Passo 2

Para ver o que de fato gera o subespaço, tentamos expressar v3 e v4 como combinação de v1 e v2. Primeiro, note que
2,v1 + v2 = 2,(1,0,2) + (2,2,1) = (2+2,;0+2,;4+1) = (4,2,5) = v3
Em seguida, para v4 procuramos escalares a,b tais que
a,v1 + b,v2 = (-1,-2,1)
Da segunda coordenada vem 0cdot a + 2,b = -2, logo b=-1. Da primeira coordenada,
a + 2b = -1 a-2=-1, ou seja a=1. Assim
v4 = 1cdot v1 + (-1)cdot v2
Portanto v3 e v4 estão no Span v1,v2, e esses dois vetores são independentes (não são múltiplos um do outro). Logo uma base do subespaço é v1,v2.

Passo 3

Em forma paramétrica, o subespaço gerado é
W = ls,(1,0,2) + t,(2,2,1)mid s,tinRr

Passo 4

Para encontrar a equação cartesiana do plano, calculamos um vetor normal via produto vetorial:
n = v1 times v2 = det i & j & k 1 & 0 & 2 2 & 2 & 1 = (-4,3,2)
Então a equação do plano é
-4x + 3y + 2z = 0,
pois ncdot v1 = ncdot v2 = 0.

Resposta

O conjunto gerado é o plano de dimensão 2 dado por
W = ,s(1,0,2) + t(2,2,1)mid s,tinR
ou ainda
W = (x,y,z)inR^3mid -4x + 3y + 2z = 0

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