Questão 2. (Valor 2,0) Encontre o conjunto gerado pelos seguintes vetores:
$\mathrm{W}=[(1,0,2),(2,2,1),(4,2,5),(-1,-2,1)]
$\mathrm{W}=[(1,0,2),(2,2,1),(4,2,5),(-1,-2,1)]
Passo 1
O enunciado pede o subespaço de
gerado pelos vetores
O conteúdo envolvido é combinação linear, dependência linear e base de um subespaço.
Passo 2
Para ver o que de fato gera o subespaço, tentamos expressar
e
como combinação de
e
. Primeiro, note que
Em seguida, para
procuramos escalares
tais que
Da segunda coordenada vem
, logo
. Da primeira coordenada,
dá
, ou seja
. Assim
Portanto
e
estão no Span
, e esses dois vetores são independentes (não são múltiplos um do outro). Logo uma base do subespaço é
.
Passo 3
Em forma paramétrica, o subespaço gerado é
Passo 4
Para encontrar a equação cartesiana do plano, calculamos um vetor normal via produto vetorial:
Então a equação do plano é
pois
ncdot v1 = ncdot v2 = 0 .
Resposta
O conjunto gerado é o plano de dimensão 2 dado por
ou ainda