Questão 4. (Valor 3,0) Considere o sistema em função do parâmetro a
l x+2 y-m z=-1 3 x+5 y-z=4 -2 x+4 y-2 z=k
a) Discuta os valores de m e k para os quais o sistema admite:
  • única solução,
  • nenhuma solução,
  • infinitas soluções.
    b) Para m=0 e k=6 resolva o sistema por escalonamento.

Passo 1

Beleza, aqui a questão diz que temos um sistema de 3 equações e 3 incógnitas dependente de dois parâmetros [m) e :
O conteúdo é Teoria de Sistemas Lineares:
  • Como usar o determinante da matriz dos coeficientes para saber quando há solução única.
  • Quando o determinante é zero, usar posto (rank) para decidir se dá infinita ou nenhuma solução.
  • E, no caso .

Passo 2

Primeiro, formamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 2 & -m 3 & 5 & -1 -2 & 4 & -2
e calculamos seu determinante
De<a = det(A) = 1cdot5 & -14 & -2 -2cdot3 & -1-2 & -2 +(-m)cdot3 & 5-2 & 4
Agora cada menor:
5 & -14 & -2 = 5cdot(-2)-(-1)cdot4 = -10+4=-6,
3 & -1-2 & -2 = 3cdot(-2)-(-1)cdot(-2)= -6-2=-8,
3 & 5-2 & 4 = 3cdot4 - 5cdot(-2) =12+10=22
Logo
De<a = 1cdot(-6);-;2cdot(-8);+;(-m)cdot22 = -6 +16 -22m = 10 -22m

Passo 3

Teoria rápida:
  • Se De<aneq0, o sistema tem solução única.
  • Se De<a=0, a matriz é singular e podemos ter ou infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo da consistência (posto da ampliada).
Daí:
De<a = 10 -22m ;neq0 Long<=ftrightarrow m neq 1022 = 511
Portanto, para mneq 5/11, existe sempre solução única, seja qual for k.

Passo 4

Agora o caso m=5/11. A matriz de coeficientes fica singular ( De<a=0), então montamos a matriz ampliada e escalonamos para ver consistência:
l[A,|,br] = 1 & 2 & -tfrac511 &l|,& -1 3 & 5 & -1 &l|,& 4 -2 & 4 & -2 &l|,& k
Eliminando abaixo da primeira coluna:
  • R2>=ts R2 -3R1 e R3>=ts R3 +2R1.
    Chega-se a:
1 & 2 & -tfrac511 &|& -1 0 & -1 & tfrac411 &|& 7 0 & 8 & -tfrac3211 &|& k-2
Depois, R3>=ts R3 +8R2
1 & 2 & -tfrac511 &|& -1 0 & -1 & tfrac411 &|& 7 0 & 0 & 0 &|& k+54
  • Se k+54neq0, a última linha é 0= k+54neq0, inconsistentenenhuma solução.
  • Se k+54=0, isto é k=-54, a última linha vira 0=0 e o sistema tem posto 2 < 3 incógnitas → infinitas soluções.

Passo 5

Parte (b): para [m=0) e resolvemos por escalonamento direto. O sistema vira
  1. Use nas outras equações:
    • Eq2 ← Eq2 – 3·Eq1 → .
    • Eq3 ← Eq3 + 2·Eq1 → .
  2. Das duas novas:

    Substitui em :
Então .
3) Volta em :

Resposta

a)
  • Solução única para todo mneq tfrac511 (qualquer k).
  • Nenhuma solução se m=tfrac511 e kneq -54.
  • Infinitas soluções se m=tfrac511 e k=-54.
b) Para m=0, k=6, a solução é
(x,y,z) = (1,,-1,,-6)

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