Questão 4. (Valor 3,0) Considere o sistema em função do parâmetro a
a) Discuta os valores de
m e
k para os quais o sistema admite:
- única solução,
- nenhuma solução,
- infinitas soluções.
b) Para
m=0 e
k=6 resolva o sistema por escalonamento.
b) Para
Passo 1
Beleza, aqui a questão diz que temos um sistema de 3 equações e 3 incógnitas dependente de dois parâmetros [m) e
:
O conteúdo é Teoria de Sistemas Lineares:
- Como usar o determinante da matriz dos coeficientes para saber quando há solução única.
- Quando o determinante é zero, usar posto (rank) para decidir se dá infinita ou nenhuma solução.
- E, no caso .
Passo 2
Primeiro, formamos a matriz dos coeficientes
e calculamos seu determinante
Agora cada menor:
Logo
Passo 3
Teoria rápida:
- Se
, o sistema tem solução única.De<aneq0 - Se
, a matriz é singular e podemos ter ou infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo da consistência (posto da ampliada).De<a=0
Daí:
Portanto, para
mneq 5/11 , existe sempre solução única, seja qual for
k .
Passo 4
Agora o caso
m=5/11 . A matriz de coeficientes fica singular (
De<a=0 ), então montamos a matriz ampliada e escalonamos para ver consistência:
Eliminando abaixo da primeira coluna:
-
eR2>=ts R2 -3R1 .R3>=ts R3 +2R1
Chega-se a:
Depois,
R3>=ts R3 +8R2 dá
- Se
, a última linha ék+54neq0 , inconsistente → nenhuma solução.0= k+54neq0 - Se
, isto ék+54=0 , a última linha virak=-54 e o sistema tem posto 2 < 3 incógnitas → infinitas soluções.0=0
Passo 5
Parte (b): para [m=0) e
resolvemos por escalonamento direto. O sistema vira
- Use nas outras equações:
- Eq2 ← Eq2 – 3·Eq1 →
. - Eq3 ← Eq3 + 2·Eq1 →
.
- Eq2 ← Eq2 – 3·Eq1 →
- Das duas novas:
Substitui em :
Então
.
3) Volta em :
3) Volta em
Resposta
a)
- Solução única para todo
(qualquermneq tfrac511 ).k - Nenhuma solução se
em=tfrac511 .kneq -54 - Infinitas soluções se
em=tfrac511 .k=-54
b) Para
m=0 ,
k=6 , a solução é