(Valor 1.5) Defina matrizes, sistemas de equações lineares e determinantes.

Passo 1

O enunciado pede as definições de três conceitos centrais de Álgebra Linear: matrizes, sistemas de equações lineares e determinantes. Para isso, vamos recorrer à formalização matemática de cada um deles, mostrando como se representam, quais são seus componentes e suas propriedades básicas.

Passo 2

Uma matriz é um arranjo retangular de elementos (números, funções ou outros objetos) organizados em m linhas e n colunas, denotado por
A = (a_{ij})_{1\le i\le m,\;1\le j\le n}
onde a_{ij} é o elemento que fica na linha i e na coluna j. Dizemos que A é uma matriz de ordem m\times n. Se m=n, dizemos que A é quadrada. As operações básicas são soma e multiplicação por escalar, e, no caso de matrizes compatíveis em dimensão, multiplicação de matrizes.

Passo 3

Um sistema de equações lineares é um conjunto de m\) equações lineares em \(n\) incógnitas \(x_1,x_2,\dots,x_n\): \[\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1,\\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2,\\\ \quad\vdots\\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m, \end{cases}
onde os a_{ij}\] e os \(b_i são dados. Em forma matricial, escrevemos \,A\mathbf{x}=\mathbf{b}, com A\in\mathbb{K}^{m\times n}, \mathbf{x}\in\mathbb{K}^n e \mathbf{b}\in\mathbb{K}^m. A solução é o vetor \mathbf{x} que satisfaz essa igualdade.

Passo 4

O determinante é uma aplicação que associa a cada matriz quadrada A\in\mathbb{K}^{n\times n} um escalar \det(A)\in\mathbb{K}. Uma definição via permutações é
\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn(\sigma)\,a_{1\sigma(1)}\,a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)},
onde S_n é o grupo de permutações de \{1,\dots,n\} e \sgn(\sigma) é o sinal de \sigma. Alternativamente, pode-se definir recursivamente por expansão de Laplace em qualquer linha ou coluna. O determinante mede, por exemplo, o fator de escala de transformações lineares associadas a A e satisfaz propriedades como
\det(I_n)=1,\quad \det(AB)=\det(A)\det(B),\quad \det(A^T)=\det(A).

Resposta

(a) Matriz: arranjo retangular de elementos a_{ij} com m linhas e n colunas, representado por A=(a_{ij})_{m\times n}. Se m=n, diz-se quadrada.
(b) Sistema de equações lineares: conjunto de m equações da forma a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n=b_i, representável como A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
(c) Determinante: aplicação \det\colon\mathbb{K}^{n\times n}\to\mathbb{K} dada por
\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i\sigma(i)},
ou por expansão de Laplace, com propriedades de multilinearidade, alternância e \det(I_n)=1.

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