(Valor 1.5) Defina matrizes, sistemas de equações lineares e determinantes.
Passo 1
O enunciado pede as definições de três conceitos centrais de Álgebra Linear: matrizes, sistemas de equações lineares e determinantes. Para isso, vamos recorrer à formalização matemática de cada um deles, mostrando como se representam, quais são seus componentes e suas propriedades básicas.
Passo 2
Uma matriz é um arranjo retangular de elementos (números, funções ou outros objetos) organizados em
linhas e
colunas, denotado por
onde
é o elemento que fica na linha
e na coluna
. Dizemos que
é uma matriz de ordem
. Se
, dizemos que
é quadrada. As operações básicas são soma e multiplicação por escalar, e, no caso de matrizes compatíveis em dimensão, multiplicação de matrizes.
Passo 3
Um sistema de equações lineares é um conjunto de
onde os
são dados. Em forma matricial, escrevemos
, com
,
e
. A solução é o vetor
que satisfaz essa igualdade.
Passo 4
O determinante é uma aplicação que associa a cada matriz quadrada
um escalar
. Uma definição via permutações é
onde
é o grupo de permutações de
e
é o sinal de
. Alternativamente, pode-se definir recursivamente por expansão de Laplace em qualquer linha ou coluna. O determinante mede, por exemplo, o fator de escala de transformações lineares associadas a
e satisfaz propriedades como
Resposta
(a) Matriz: arranjo retangular de elementos
com
linhas e
colunas, representado por
. Se
, diz-se quadrada.
(b) Sistema de equações lineares: conjunto de
equações da forma
, representável como
.
(c) Determinante: aplicação
dada por
ou por expansão de Laplace, com propriedades de multilinearidade, alternância e
.