Questão 1: (Valor 3,0)
Determine o centróide da região limitada pelas curvas y=4-x^2 e y=x+2.

Passo 1

O enunciado pede o centróide da região limitada pelas curvas y=4−x² (côncava para baixo) e y=x+2 (reta). O conteúdo é cálculo de centróide de área planar via integrais, usando as fórmulas de área e momentos de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção resolvendo
4 - x^2 = x + 2
que leva a
x^2 + x - 2 = 0
As raízes são x=1 e x=−2, então a região está entre x=−2 e x=1.

Passo 3

Em seguida, calculamos a área A da região como
[
A = \int_{-2}^{1} \bigl[(4 - x^2) - (x + 2)\bigr] ,dx = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) ,dx = \frac{9}{2}.

Passo 4

Para obter a abscissa do centróide, usamos
barx = 1A integral-2^1 xl[(4 - x^2) - (x + 2)r] ,dx
Calculando a integral, obtemos barx = -tfrac12.

Passo 5

Para a ordenada do centróide, usamos
bary = 12A integral-2^1 l[(4 - x^2)^2 - (x + 2)^2r] ,dx
Avalia-se a integral e encontra-se bary = tfrac125.

Resposta

O centróide da região é l(-tfrac12,,tfrac125r).

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