Questão 1: (Valor 3,0)
Determine o centróide da região limitada pelas curvas
e
.
Determine o centróide da região limitada pelas curvas
Passo 1
O enunciado pede o centróide da região limitada pelas curvas y=4−x² (côncava para baixo) e y=x+2 (reta). O conteúdo é cálculo de centróide de área planar via integrais, usando as fórmulas de área e momentos de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, encontramos os pontos de interseção resolvendo
que leva a
As raízes são x=1 e x=−2, então a região está entre x=−2 e x=1.
Passo 3
Em seguida, calculamos a área A da região como
[
A = \int_{-2}^{1} \bigl[(4 - x^2) - (x + 2)\bigr] ,dx = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) ,dx = \frac{9}{2}.
A = \int_{-2}^{1} \bigl[(4 - x^2) - (x + 2)\bigr] ,dx = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) ,dx = \frac{9}{2}.
Passo 4
Para obter a abscissa do centróide, usamos
Calculando a integral, obtemos
.
Passo 5
Para a ordenada do centróide, usamos
Avalia-se a integral e encontra-se
.
Resposta
O centróide da região é
.