Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções:

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = raiz[3]x^2;cos xl(x^4+tan^2x+1r)^2
e pede f'(x). Vamos usar as regras de derivação de potência, produto, quociente e cadeia, além das derivadas de cos x e tan x.

Passo 2

Escrevemos
u(x) = x^2/3cos x e v(x) = l(x^4+tan^2x+1r)^2
A regra do quociente diz
f'(x) = u'(x),v(x);-;u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Calculamos u'(x) aplicando produto e potência:
u'(x) = ddxl(x^2/3r)cdotcos x + x^2/3cdotddx(cos x) = 23x^-1/3cos x - x^2/3sin x

Passo 4

Para v(x) usamos cadeia: defina w(x)=x^4+tan^2x+1, então v(x)=w(x)^2.
Temos
w'(x) = 4x^3 + 2tan x;sec^2x,
logo
v'(x) = 2,w(x),w'(x) = 2l(x^4+tan^2x+1r)l(4x^3+2tan xsec^2xr)

Passo 5

Substituindo na regra do quociente:
f'(x) = l(tfrac23x^-1/3cos x - x^2/3sin xr),(x^4+tan^2x+1)^2 ;-;x^2/3cos x;2(x^4+tan^2x+1)(4x^3+2tan xsec^2x) (x^4+tan^2x+1)^4

Passo 6

Fatoramos um termo ,(x^4+tan^2x+1) no numerador e simplificamos com o denominador:
f'(x) = l(tfrac23x^-1/3cos x - x^2/3sin xr)(x^4+tan^2x+1) - x^2/3cos x,(8x^3+4tan xsec^2x) (x^4+tan^2x+1)^3

Resposta

f'(x) = l(23x^-1/3cos x - x^2/3sin xr),(x^4+tan^2x+1) - x^2/3cos x,(8x^3+4tan xsec^2x) (x^4+tan^2x+1)^3

Exercícios relacionados