Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=x sen(raiz[3]x^5-x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x,senl(raiz[3]x^5-x^2r)
O conteúdo envolvido é derivação de produto e regra da cadeia, além de derivar funções elementares ( sen, potência).

Passo 2

Vamos aplicar a regra do produto. Defina
u(x)=x, v(x)=senl(g(x)r),
onde
g(x)=raiz[3]x^5-x^2=(x^5-x^2)^tfrac13
A regra do produto diz
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos u'(x) e v'(x) separadamente.
Como u(x)=x,
u'(x)=1
Para v(x)=senl(g(x)r), usamos a regra da cadeia:
v'(x)=cosl(g(x)r),cdot g'(x)

Passo 4

Agora derivamos
g(x)=(x^5-x^2)^tfrac13
Pela regra da cadeia e da potência,
g'(x) =13(x^5-x^2)^-tfrac23cdotl(5x^4-2xr)

Passo 5

Substituindo em
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
temos
f'(x) =1cdotsenl(g(x)r) + xcdotcosl(g(x)r),13(x^5-x^2)^-tfrac23,(5x^4-2x)
Voltando a escrever g(x),
f'(x) =senl(raiz[3]x^5-x^2r) +x,(5x^4-2x)3,(x^5-x^2)^tfrac23 ;cos!l(raiz[3]x^5-x^2r)

Resposta

f'(x) =senl(raiz[3]x^5-x^2r) +x,(5x^4-2x)3,(x^5-x^2)^tfrac23 cos!l(raiz[3]x^5-x^2r)

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