\begin{aligned}
\left|\begin{array}{llll}
a & a & a & a \\
a & b & b & b \\
a & b & c & c \\
a & b & c & d
\end{array}\right| & =a(b-a)(c-b)(d-c) \\
\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^{2} & b^{2} & c^{2}
\end{array}\right| & =(b-a)(c-a)(c-b)
\end{aligned}
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas igualdades envolvendo determinantes. As duas coisas que temos de provar são:
Que
\left|\begin{array}{llll} a & a & a & a \\\ a & b & b & b \\\ a & b & c & c \\\ a & b & c & d \end{array}\right| = a(b-a)(c-b)(d-c).
Que
\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{array}\right| =(b-a)(c-a)(c-b).
Informações relevantes dadas: as duas expressões são determinantes de matrizes com entradas dadas (ver acima). Não há outras condições sobre a,b,c,d; podemos assumir que são símbolos quaisquer (podem ser iguais ou distintos, as fórmulas são identidades algébricas).
Passo 2
Antes de começar a manipular os determinantes, vamos relembrar duas propriedades básicas e muito úteis de determinantes (explicadas de forma direta e com exemplos):
Propriedade 1 (operação linear que preserva determinante): Se substituímos uma linha (ou coluna) por ela menos outra linha (ou coluna), o determinante não se altera. Em símbolos: a operação R_i \leftarrow R_i - R_j não muda o valor do determinante. Isso vale porque determinante é linear em cada linha e o termo que envolve R_j cancela — pense nisso como “somar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra” é uma operação elementar que não altera o determinante.
Propriedade 2 (fator comum numa linha ou coluna): Se uma linha (ou coluna) tem um fator escalar k que pode ser fatorado, então o determinante ganha esse fator: ao fatorar k de uma linha, o determinante é multiplicado por k. Ex.: se R_2 = k\cdot R_2' então \det(\ldots,R_2,\ldots) = k\det(\ldots,R_2',\ldots).
Propriedade 3 (determinante de matriz triangular): Se a matriz é triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Vou usar essas propriedades explicitamente nas manipulações; cada passo será justificado por uma delas.
Passo 3
Começamos pela primeira igualdade. Reescrevo o determinante original para manipular as linhas:
D_4=\left|\begin{array}{llll} a & a & a & a \\\ a & b & b & b \\\ a & b & c & c \\\ a & b & c & d \end{array}\right|.
Aplicarei operações do tipo R_i \leftarrow R_i - R_{i-1} para i=2,3,4. Essas operações não alteram o valor do determinante (propriedade 1). Primeiro R_2 \leftarrow R_2 - R_1:
\left|\begin{array}{llll} a & a & a & a \\\\ 0 & b-a & b-a & b-a \\\ a & b & c & c \\\ a & b & c & d \end{array}\right|.
Agora R_3 \leftarrow R_3 - R_2 (atenção: aqui uso a linha atualizada R_2); isso também não altera o determinante:
\left|\begin{array}{llll} a & a & a & a \\\\ 0 & b-a & b-a & b-a \\\\ 0 & 0 & c-b & c-b \\\ a & b & c & d \end{array}\right|.
Finalmente R_4 \leftarrow R_4 - R_3 (usando a linha atualizada R_3):
\left|\begin{array}{llll} a & a & a & a \\\\ 0 & b-a & b-a & b-a \\\\ 0 & 0 & c-b & c-b \\\\ 0 & 0 & 0 & d-c \end{array}\right|.
Todas essas três operações são do tipo “subtrair uma linha de outra” e, como dito, não mudam o determinante.
Passo 4
Agora observe a matriz obtida após as operações:
\left|\begin{array}{llll} a & a & a & a \\\\ 0 & b-a & b-a & b-a \\\\ 0 & 0 & c-b & c-b \\\\ 0 & 0 & 0 & d-c \end{array}\right|.
Esta matriz é triangular superior exceto pelo fato de que a primeira linha tem entradas repetidas; porém podemos ainda calcular o determinante usando expansão ou propriedades. Uma maneira direta: expandir por Laplace ao longo da primeira coluna (já que os três últimos elementos da primeira coluna são zero, a expansão fica simples). O menor correspondente ao elemento \,a da posição (1,1) é exatamente a matriz triangular
Combinando o fator a que saiu da primeira linha com o produto da diagonal da submatriz, obtemos
D_4 = a(b-a)(c-b)(d-c).
Isso é exatamente a identidade que queríamos mostrar para o primeiro determinante. (Se quiser verificar com números, escolha valores numéricos para a,b,c,d e calcule diretamente: por exemplo a=1,b=2,c=4,d=5 — o método acima vale para qualquer símbolos.)
Passo 6
Agora a segunda igualdade. Reescrevo o determinante de ordem 3:
D_3=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{array}\right|.
Vou usar operações de coluna (o raciocínio é análogo ao das linhas): fazemos C_2 \leftarrow C_2 - C_1 e C_3 \leftarrow C_3 - C_1. Subtrair uma coluna por outra não altera o determinante (mesma propriedade 1, agora para colunas). Após essas operações obtemos:
Note que b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a) e c^{2}-a^{2}=(c-a)(c+a). Podemos então fatorar (b-a) na primeira coluna e (c-a) na segunda coluna do 2\times2 determinante, usando a propriedade 2 (fator comum numa coluna):
Isso é exatamente a segunda fórmula pedida. Esta forma é a fórmula clássica do determinante de Vandermonde para três pontos; a generalização para n pontos é o produto \prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i), mas aqui não precisamos disso — só o caso n=3.
Resposta
\left|\begin{array}{llll} a & a & a & a \\\ a & b & b & b \\\ a & b & c & c \\\ a & b & c & d \end{array}\right| = a(b-a)(c-b)(d-c)
\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{array}\right| =(b-a)(c-a)(c-b)