Questão 2 (Valor: 2,0 ) Encontre a matriz de tamanho 2 \times 2 com autovalores \lambda=1 e \lambda=3 e autovetores associados (1,0) e (1,1) respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede uma matriz 2\times2 que tenha autovalores \lambda=1 e \lambda=3 e, respectivamente, autovetores \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}. Vamos usar a ideia de diagonalização: se montamos
P=[v_1\;v_2],\quad D=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\\ 0&\lambda_2\end{pmatrix},
então
A = P\,D\,P^{-1}
é a matriz desejada.

Passo 2

Definimos
P = \begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 3\end{pmatrix},
pois a primeira coluna de P é \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} (autovetor de \lambda=1) e a segunda é \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} (autovetor de \lambda=3).]

Passo 3

Calculamos a inversa de P. Como \det P=1, obtém-se
P^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -1\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora montamos
P\,D = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}
e em seguida
A = P\,D\,P^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificamos que
A\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad A\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ 3\end{pmatrix} =3\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix},
ou seja, os autovalores e autovetores conferem.

Resposta

A matriz procurada é
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\[6pt]0 & 3\end{pmatrix}.]

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