Questão 4 (Valor: 2,0) Prove que se b \neq 0, então
\left[\begin{array}{ll} a & b \\\\ 0 & a \end{array}\right]
não é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para b\neq0, a matriz
A = \begin{pmatrix}a & b \\\\ 0 & a\end{pmatrix}
não é diagonalizável.
Conteúdo: diagonalização de matrizes, multiplicidade algébrica e geométrica de autovalores. Para mostrar que A não é diagonalizável, basta ver que o autovalor a tem multiplicidade algébrica 2 mas só gera um único autovetor (multiplicidade geométrica 1).
Isto mostra que o espaço próprio de a é unidimensional (multiplicidade geométrica igual a 1).]
Passo 4
Concluir sobre a diagonalização.
Para ser diagonalizável em dimensão 2, cada autovalor deve ter multiplicidade geométrica igual à algébrica. Aqui o autovalor a tem multiplicidade algébrica 2 mas geométrica 1. Logo