Questão 4 (Valor: 2,0) Prove que se b \neq 0, então
\left[\begin{array}{ll} a & b \\\\ 0 & a \end{array}\right]
não é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para b\neq0, a matriz
A = \begin{pmatrix}a & b \\\\ 0 & a\end{pmatrix}
não é diagonalizável.
Conteúdo: diagonalização de matrizes, multiplicidade algébrica e geométrica de autovalores. Para mostrar que A não é diagonalizável, basta ver que o autovalor a tem multiplicidade algébrica 2 mas só gera um único autovetor (multiplicidade geométrica 1).

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A.
\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det\!\bigl(\begin{pmatrix}a-\lambda & b\\\ 0 & a-\lambda\end{pmatrix}\bigr) = (a-\lambda)^2.
Logo, o único autovalor é \lambda=a com multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Determinar o espaço próprio de \lambda=a.
Resolvemos
(A - aI)\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & b\\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b\,y\\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem b\,y=0. Como b\neq0, segue y=0. A segunda linha não dá restrição adicional. Portanto os vetores próprios são
\begin{pmatrix}x\\\\ 0\end{pmatrix} \quad\text{com \(x\neq0\).}
Isto mostra que o espaço próprio de a é unidimensional (multiplicidade geométrica igual a 1).]

Passo 4

Concluir sobre a diagonalização.
Para ser diagonalizável em dimensão 2, cada autovalor deve ter multiplicidade geométrica igual à algébrica. Aqui o autovalor a tem multiplicidade algébrica 2 mas geométrica 1. Logo
\text{geometricidade}(a) < \text{algebricidade}(a),
impedindo a existência de uma base de autovetores. Portanto A não é diagonalizável sempre que b\neq0.

Resposta

A matriz não é diagonalizável pois seu único autovalor a tem multiplicidade geométrica 1 < 2 (multiplicidade algébrica).

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