Questão 5 (Valor: 2,0) Mostre que a matriz
\left[\begin{array}{lll} 4 & 0 & 1 \\\\ 2 & 3 & 2 \\\\ 1 & 0 & 4 \end{array}\right]
é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1\\\\ 2 & 3 & 2\\\\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}
é diagonalizável. Isso significa encontrar os valores próprios (autovalores) de A, calcular a multiplicidade algébrica de cada um e verificar que a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) coincide com a algébrica, de modo que haja três autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Vamos obter o polinômio característico de A calculando
\det(A - \lambda I) =\begin{vmatrix} 4-\lambda & 0 & 1\\\\ 2 & 3-\lambda & 2\\\\ 1 & 0 & 4-\lambda \end{vmatrix}.
Expandindo pela primeira linha,
\det(A-\lambda I) =(4-\lambda)\det\begin{pmatrix}3-\lambda&2\\\ 0&4-\lambda\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}2&3-\lambda\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Logo,
\det(A-\lambda I) =(4-\lambda)\bigl((3-\lambda)(4-\lambda)\bigr) -\,(3-\lambda).

Passo 3

Fatorando esse resultado, temos
\det(A-\lambda I) =(3-\lambda)\bigl((4-\lambda)^2-1\bigr) =(3-\lambda)\bigl((4-\lambda)-1\bigr)\bigl((4-\lambda)+1\bigr) =(3-\lambda)^2(5-\lambda).
Portanto os autovalores são
\lambda=3\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda=5\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 4

Para \lambda=5 resolvemos (A-5I)x=0:
A-5I = \begin{pmatrix}-1&0&1\\\ 2&-2&2\\\ 1&0&-1\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem -x+z=0\implies z=x.
Da segunda linha vem 2x-2y+2z=0\implies 4x-2y=0\implies y=2x.
Logo um autovetor geral é
x = t\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\quad t\neq0,
dimensão do espaço próprio igual a 1, como esperado.

Passo 5

Para \lambda=3 resolvemos (A-3I)x=0:
A-3I = \begin{pmatrix}1&0&1\\\ 2&0&2\\\ 1&0&1\end{pmatrix}.
Da primeira linha x+z=0\implies z=-x. A segunda e terceira não dão condição nova. O componente y é livre.
Logo os autovetores têm a forma
x = s\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad s,u\text{ livres},
mostrando que a dimensão do espaço próprio é 2, igual à multiplicidade algébrica.

Passo 6

Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica e o total de autovetores independentes é 1+2=3, a matriz A é diagonalizável.

Resposta

A matriz é diagonalizável porque seus autovalores são \lambda=5 (mult. alg. 1, mult. geom. 1) e \lambda=3 (mult. alg. 2, mult. geom. 2), fornecendo três autovetores independentes.

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