Considere a equação diferencial com valor inicial:
Usando o Método de Euler Aperfeiçoado, determinar a solução aproximada
0,25 . Cálculos com 4 casas decimais.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado:\n
Temos o problema de valor inicial
Temos o problema de valor inicial
Queremos a aproximação de
usando o Método de Euler Aperfeiçoado com passo
.\n
Informações importantes extraídas do enunciado:\n
.\n
.\n
Intervalo de integração: de até
(porque
passos).\n
A função do lado direito é
Informações importantes extraídas do enunciado:\n
Intervalo de integração: de
A função do lado direito é
obs.: aqui
depende só de
, não de
(isso simplifica alguns cálculos, mas vou aplicar o método normalmente).]
Passo 2
Apresentação didática do Método de Euler Aperfeiçoado (Heun) e fórmulas usadas:\n
A ideia do método é melhorar o Euler explícito estimando a inclinação em dois pontos e fazendo a média. Para cada passo (com
e
) usamos:\n
A ideia do método é melhorar o Euler explícito estimando a inclinação em dois pontos e fazendo a média. Para cada passo
Explicando as variáveis:
é o ponto atual em
,
é a aproximação atual de
,
é o tamanho do passo.
é a inclinação no início do passo,
é a previsão de
no fim do passo usando Euler explícito,
é a inclinação no fim do passo (avaliada em
e na previsão
). Por fim,
usa a média das duas inclinações multiplicada por
.\n
Observação prática: nossa depende só de
, então
e
. Mesmo assim vou mostrar os passos completos para ficar claro como aplicar o método numa prova.\n
Cuidado com arredondamento: o enunciado pede 4 casas decimais em todos os cálculos, então a cada valor numérico eu vou arredondar para 4 casas decimais.
Observação prática: nossa
Cuidado com arredondamento: o enunciado pede 4 casas decimais em todos os cálculos, então a cada valor numérico eu vou arredondar para 4 casas decimais.
Passo 3
Passo
: de
para
, com
.\n
Calcule :
Calcule
Preditor:
Calcule
em
:
Avaliações (arredondadas para 4 casas decimais):
,
. Portanto
Corretor (média das inclinações):
Calcule o parêntese:
. Multiplicando:
. Logo
Passo 4
Passo
: de
para
, com
.\n
Como depende só de
, já sabemos
(valor do passo anterior).\n
Preditor:
Como
Preditor:
Calcule
. Usando valores arredondados:
,
. Então
Corretor:
Some:
. Multiplicando:
(arredondando para 4 casas internas dá
, somando)
Passo 5
Passo
: de
para
, com
.\n
(valor do passo anterior).\n
Preditor:
Preditor:
Calcule
. Usando avaliações arredondadas:
,
. Então
Corretor:
Some:
. Multiplicando:
. Logo
Passo 6
Passo
: de
para
, com
.\n
(valor do passo anterior).\n
Preditor:
Preditor:
Calcule
. Usando valores arredondados:
,
. Então
Corretor (último passo):
Some:
. Multiplicando:
. Logo