Considere a equação diferencial com valor inicial:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=\cos 2 x+\operatorname{sen} 3 x, \quad \text { para } x \in[0,1] \\\ y(0)=1 \end{array}\right.
Usando o Método de Euler Aperfeiçoado, determinar a solução aproximada y(1) \operatorname{com} h= 0,25 . Cálculos com 4 casas decimais.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado:\n
Temos o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y'=\cos 2x+\operatorname{sen}3x, \quad x\in[0,1],\\[4pt] y(0)=1. \end{array}\right.
Queremos a aproximação de y(1) usando o Método de Euler Aperfeiçoado com passo h=0,25.\n
Informações importantes extraídas do enunciado:\n
\;y(0)=1.\n
\;h=0,25.\n
Intervalo de integração: de x_0=0 até x_4=1 (porque (1-0)/0,25=4 passos).\n
A função do lado direito é
f(x,y)=\cos 2x+\sin 3x,
obs.: aqui f depende só de x, não de y (isso simplifica alguns cálculos, mas vou aplicar o método normalmente).]

Passo 2

Apresentação didática do Método de Euler Aperfeiçoado (Heun) e fórmulas usadas:\n
A ideia do método é melhorar o Euler explícito estimando a inclinação em dois pontos e fazendo a média. Para cada passo n (com x_n e y_n) usamos:\n
k_1 = f(x_n,y_n),\n
\tilde{y}=y_n + h\,k_1 \quad\text{(preditor)},\n
k_2 = f(x_n+h,\tilde{y}),\n
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}\,(k_1+k_2).\n
Explicando as variáveis: x_n é o ponto atual em x, y_n é a aproximação atual de y(x_n), h é o tamanho do passo. k_1 é a inclinação no início do passo, \tilde{y} é a previsão de y no fim do passo usando Euler explícito, k_2 é a inclinação no fim do passo (avaliada em x_n+h e na previsão \tilde{y}). Por fim, y_{n+1} usa a média das duas inclinações multiplicada por h.\n
Observação prática: nossa f depende só de x, então k_1=f(x_n) e k_2=f(x_n+h). Mesmo assim vou mostrar os passos completos para ficar claro como aplicar o método numa prova.\n
Cuidado com arredondamento: o enunciado pede 4 casas decimais em todos os cálculos, então a cada valor numérico eu vou arredondar para 4 casas decimais.

Passo 3

Passo n=0: de x_0=0 para x_1=0,25, com y_0=1.\n
Calcule k_1:
k_1 = f(0,1)=\cos(2\cdot 0)+\sin(3\cdot 0)=\cos 0+\sin 0=1+0=1,0000.\n
Preditor:
\tilde{y}=y_0 + h\,k_1 = 1,0000 + 0,25\cdot 1,0000 = 1,2500.\n
Calcule k_2 em x_0+h=0,25:
k_2 = f(0,25)=\cos(2\cdot 0,25)+\sin(3\cdot 0,25)=\cos 0,5+\sin 0,75.
Avaliações (arredondadas para 4 casas decimais): \cos 0,5\approx 0,8776, \sin 0,75\approx 0,6816. Portanto
k_2 \approx 0,8776+0,6816=1,5592.\n
Corretor (média das inclinações):
y_1 = y_0 + \frac{h}{2}(k_1+k_2) = 1,0000 + 0,125\cdot(1,0000+1,5592).
Calcule o parêntese: 1,0000+1,5592=2,5592. Multiplicando: 0,125\cdot 2,5592=0,3199. Logo
y_1 \approx 1,0000+0,3199=1,3199.

Passo 4

Passo n=1: de x_1=0,25 para x_2=0,50, com y_1\approx 1,3199.\n
Como f depende só de x, já sabemos k_1=f(0,25)=1,5592 (valor do passo anterior).\n
Preditor:
\tilde{y}=y_1 + h\,k_1 = 1,3199 + 0,25\cdot 1,5592 = 1,3199 + 0,3898 = 1,7097.\n
Calcule k_2=f(0,50)=\cos(1,0)+\sin(1,5). Usando valores arredondados: \cos 1,0\approx 0,5403, \sin 1,5\approx 0,9975. Então
k_2 \approx 0,5403+0,9975=1,5378.\n
Corretor:
y_2 = y_1 + \frac{h}{2}(k_1+k_2) = 1,3199 + 0,125\cdot(1,5592+1,5378).
Some: 1,5592+1,5378=3,0970. Multiplicando: 0,125\cdot 3,0970=0,3871 (arredondando para 4 casas internas dá 0,3871, somando)
y_2 \approx 1,3199+0,3871=1,7070.

Passo 5

Passo n=2: de x_2=0,50 para x_3=0,75, com y_2\approx 1,7070.\n
k_1=f(0,50)=1,5378 (valor do passo anterior).\n
Preditor:
\tilde{y}=y_2 + h\,k_1 = 1,7070 + 0,25\cdot 1,5378 = 1,7070 + 0,3845 = 2,0915.\n
Calcule k_2=f(0,75)=\cos(1,5)+\sin(2,25). Usando avaliações arredondadas: \cos 1,5\approx 0,0707, \sin 2,25\approx 0,7781. Então
k_2 \approx 0,0707+0,7781=0,8488.\n
Corretor:
y_3 = y_2 + \frac{h}{2}(k_1+k_2) = 1,7070 + 0,125\cdot(1,5378+0,8488).
Some: 1,5378+0,8488=2,3866. Multiplicando: 0,125\cdot 2,3866=0,2983. Logo
y_3 \approx 1,7070+0,2983=2,0053.

Passo 6

Passo n=3: de x_3=0,75 para x_4=1,00, com y_3\approx 2,0053.\n
k_1=f(0,75)=0,8488 (valor do passo anterior).\n
Preditor:
\tilde{y}=y_3 + h\,k_1 = 2,0053 + 0,25\cdot 0,8488 = 2,0053 + 0,2122 = 2,2175.\n
Calcule k_2=f(1,00)=\cos(2,0)+\sin(3,0). Usando valores arredondados: \cos 2,0\approx -0,4161, \sin 3,0\approx 0,1411. Então
k_2 \approx -0,4161+0,1411=-0,2750.\n
Corretor (último passo):
y_4 = y_3 + \frac{h}{2}(k_1+k_2) = 2,0053 + 0,125\cdot(0,8488+(-0,2750)).
Some: 0,8488-0,2750=0,5738. Multiplicando: 0,125\cdot 0,5738=0,0717. Logo
y_4 \approx 2,0053+0,0717=2,0770.

Resposta

y(1)\approx 2,0770

Exercícios relacionados