Use o método de Euler, para calcular a solução aproximada do PVI, usando 4 casas decimais: y^{\prime}=1-\frac{y}{x}, com y(2)=2, usando h=0.1, calcule y(2.4).

Passo 1

O enunciado pede a solução aproximada do problema de valor inicial (PVI)
y' = 1 - \frac{y}{x},\qquad y(2)=2
no ponto \,x=2,4, usando o método de Euler com passo \,h=0,1.\n
Informações dadas:
y'(x,y)=1-\frac{y}{x},\quad y(2)=2,\quad h=0,1,\quad\text{queremos }y(2,4).
Observação: para ir de x=2 até x=2,4 com passo \,h=0,1 precisamos de n=\dfrac{2,4-2}{0,1}=4 passos: x_0=2,0, x_1=2,1, x_2=2,2, x_3=2,3, x_4=2,4.

Passo 2

Explicando o método de Euler (aula rápida e prática): o método de Euler explora que a derivada \,y'(x,y) é a inclinação da solução no ponto atual. Se sabemos (x_n,y_n), uma aproximação para y em x_{n+1}=x_n+h é
y_{n+1}=y_n + h\;f(x_n,y_n),
onde f(x,y)=y'(x,y). Aqui f(x,y)=1-\dfrac{y}{x}.\n
Vou aplicar essa fórmula passo a passo. Como o enunciado pediu “usar 4 casas decimais”, vou arredondar o valor de y a cada passo para 4 casas decimais (isso é prática comum em exercícios de PVI para manter controle dos cálculos).

Passo 3

Passo de x_0=2,0 para x_1=2,1.
Calcular f(x_0,y_0) com (x_0,y_0)=(2,0,\,2,0):
f(2,0,2,0)=1-\frac{2,0}{2,0}=1-1=0.
Aplicando Euler:
y_1=y_0+h\,f(x_0,y_0)=2,0+0,1\cdot 0=2,0.
Arredondando para 4 casas decimais:
y_1=2,0000.

Passo 4

Passo de x_1=2,1 para x_2=2,2.
Calcular f(x_1,y_1) com (x_1,y_1)=(2,1,\,2,0000):
f(2,1,2,0000)=1-\frac{2,0000}{2,1}=1-\frac{2,0000}{2,1}.
Fazendo a divisão \dfrac{2,0000}{2,1}\approx 0,9523809524, então
f(2,1,2,0000)\approx 1-0,9523809524=0,0476190476.
Aplicando Euler:
y_2=y_1+h\,f(x_1,y_1)=2,0000+0,1\cdot 0,0476190476\approx 2,0000+0,0047619048=2,0047619048.
Arredondando para 4 casas decimais:
y_2=2,0048.

Passo 5

Passo de x_2=2,2 para x_3=2,3.
Calcular f(x_2,y_2) com (x_2,y_2)=(2,2,\,2,0048):
f(2,2,2,0048)=1-\frac{2,0048}{2,2}.
Fazendo a divisão \dfrac{2,0048}{2,2}\approx 0,9112727273, então
f(2,2,2,0048)\approx 1-0,9112727273=0,0887272727.
Aplicando Euler:
y_3=y_2+h\,f(x_2,y_2)=2,0048+0,1\cdot 0,0887272727\approx 2,0048+0,0088727273=2,0136727273.
Arredondando para 4 casas decimais:
y_3=2,0137.

Passo 6

Passo de x_3=2,3 para x_4=2,4 (o passo final).
Calcular f(x_3,y_3) com (x_3,y_3)=(2,3,\,2,0137):
f(2,3,2,0137)=1-\frac{2,0137}{2,3}.
Fazendo a divisão \dfrac{2,0137}{2,3}\approx 0,8755217391, então
f(2,3,2,0137)\approx 1-0,8755217391=0,1244782609.
Aplicando Euler:
y_4=y_3+h\,f(x_3,y_3)=2,0137+0,1\cdot 0,1244782609\approx 2,0137+0,0124478261=2,0261478261.
Arredondando para 4 casas decimais (solução pedida):
y_4=2,0261.

Resposta

2,0261

Exercícios relacionados