Seja T: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} um operador diagonalizável, ou seja, existe uma base B=\left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\} de \mathbb{R}^{n} formada pelos autovetores de B. As colunas da matriz M é formada pelas coordenadas dos vetores v_{i} e, além disso, (T)_{C}=M(T)_{B} M^{-1}, em que (T)_{C} é matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^{n}. Para cada matriz abaixo, encontre (se poissível) a matriz M.
(T)_{C}=\left(\begin{array}{cc}2 & 4 \\\\ 3 & 13\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz de T na base canônica
(T)_C = \begin{pmatrix}2 & 4 \\\\ 3 & 13\end{pmatrix}
e diz que T é diagonalizável, isto é, existe uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores. Vamos encontrar as matrizes de passagem M cujas colunas são esses autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de (T)_C. Seja A=(T)_C. Então
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 4 \\[4pt]3 & 13-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(13-\lambda) - 4\cdot3.
Desenvolvendo,
(2-\lambda)(13-\lambda) - 12 = \lambda^2 -15\lambda +26 -12 = \lambda^2 -15\lambda +14,
logo as raízes são
\lambda = \frac{15 \pm \sqrt{15^2 -4\cdot14}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{169}}{2} \;\Longrightarrow\; \lambda_1 = 14,\;\lambda_2 = 1.]

Passo 3

Para \lambda_1=14 resolvemos (A-14I)v=0, isto é,
\begin{pmatrix}2-14 & 4 \\[4pt]3 & 13-14\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-12 & 4\\\ 3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha -12x +4y=0 segue y=3x. Tomando x=1 obtemos um autovetor
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para \lambda_2=1 resolvemos (A-I)v=0, ou seja,
\begin{pmatrix}2-1 & 4\\\ 3 & 13-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 4\\\ 3 & 12\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha x +4y=0 segue x=-4y. Tomando y=1 temos
v_2 = \begin{pmatrix}-4\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

A matriz M cujas colunas são v_1 e v_2 diagonaliza A. Assim, uma escolha conveniente é
M = \begin{pmatrix}1 & -4 \\[4pt]3 & 1\end{pmatrix},
pois então
M^{-1} A\,M = \begin{pmatrix}14 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.]

Resposta

M = \begin{pmatrix}1 & -4 \\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}.]

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