QUESTÃO 1 [valor: 1,5 ponto]

Uma empresa produz e vende um determinado produto. O custo marginal de produção (em reais por unidade) é dado por:
C^{\prime}(q)=5+0,02 q-\frac{10}{q+1}
Sabe-se que o custo fixo é de R \ 1.000$, e que a receita marginal é dada por:
Pede-se:
R^{\prime}(q)=20-0,01 q
A) [1,0] Encontre a função lucro L(q).
B) [1,0] Verifique se a produção de 100 unidades gera lucro ou prejuízo e çalcule esse valor.

Passo 1

O enunciado dá o custo marginal
C'(q)=5+0,02\,q-\frac{10}{q+1}
e o custo fixo 1000. A receita marginal é
R'(q)=20-0,01\,q.
Queremos a função lucro
L(q)=R(q)-C(q)
logo precisamos encontrar R(q) e C(q) por integração.

Passo 2

Integramos R'(q) para obter R(q):
R(q)=\int\bigl(20-0,01\,q\bigr)\,dq =20\,q-0,005\,q^2+K_R.
Como não há receita quando q=0, temos R(0)=0, logo K_R=0.
Portanto
R(q)=20\,q-0,005\,q^2.

Passo 3

Integramos C'(q) para obter C(q):
C(q)=\int\Bigl(5+0,02\,q-\frac{10}{q+1}\Bigr)\,dq =5\,q+0,01\,q^2-10\ln(q+1)+K_C.
Como o custo total em q=0 é o custo fixo 1000, temos C(0)=1000, logo
K_C=1000.
Assim
C(q)=1000+5\,q+0,01\,q^2-10\ln(q+1).

Passo 4

Substituindo em L(q)=R(q)-C(q), obtemos
L(q)=\bigl(20\,q-0,005\,q^2\bigr) -\bigl(1000+5\,q+0,01\,q^2-10\ln(q+1)\bigr).
Simplificando,
L(q)=-1000+15\,q-0,015\,q^2+10\ln(q+1).

Passo 5

Para q=100, calculamos
R(100)=20\cdot100-0,005\cdot100^2=2000-50=1950,
C(100)=1000+5\cdot100+0,01\cdot100^2-10\ln(101) =1000+500+100-10\ln(101) \approx1600-10\cdot4,6151 \approx1553,85.
Logo o lucro é
L(100)=1950-1553,85\approx396,15>0,
ou seja, há lucro de aproximadamente R\$396,15.

Resposta

L(q)=-1000+15\,q-0,015\,q^2+10\ln(q+1).
Para q=100, L(100)\approx R\$396,15 (lucro).

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