Questão 4 valor: 1,5 ponto Dados os polinômios p_{1}(x)=x^{2}+x e p_{2}(x)=5 x^{2}+5 x de \mathbb{P}_{2}, decida se o polinômio p(x)=6 x-18 é ou não é uma combinação linear de p_{1}(x) e p_{2}(x). Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá os polinômios
p_{1}(x)=x^{2}+x,
p_{2}(x)=5x^{2}+5x
em \mathbb{P}_{2} e pergunta se
p(x)=6x-18
é combinação linear de p_{1} e p_{2}. Para isso, vamos supor que existam escalares c_{1} e c_{2} tais que
c_{1}p_{1}(x)+c_{2}p_{2}(x)=p(x),
e verificar se esse sistema admite solução.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear suposta, temos
c_{1}p_{1}(x)+c_{2}p_{2}(x) = c_{1}(x^{2}+x)+c_{2}(5x^{2}+5x).

Passo 3

Fatorando, obtemos
c_{1}(x^{2}+x)+c_{2}(5x^{2}+5x) =(c_{1}+5c_{2})\,x^{2}+(c_{1}+5c_{2})\,x.
Note que essa combinação não gera termo constante.

Passo 4

Para que isso seja igual a p(x)=6x-18, os coeficientes de cada potência de x devem coincidir:
coeficiente de x^{2}:
c_{1}+5c_{2}=0,
coeficiente de x:
c_{1}+5c_{2}=6,
coeficiente constante:
0=-18.
Já pela parte constante vemos que é impossível obter -18 a partir de uma combinação de p_{1} e p_{2}. Além disso, as duas primeiras equações são contraditórias ( 0\neq6).

Resposta

O polinômio p(x)=6x-18 não é combinação linear de p_{1} e p_{2}.

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