Questão 3 valor: 1,5 ponto Considere o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} e os seguintes subespaços U e W de V definidos por U=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y=3 x\right\} e W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y=-2 x\right\}
Responda UUW é ou não é um subespaço vetorial de V? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} e os subespaços
\displaystyle U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:y=3x\}
e
\displaystyle W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:y=-2x\}.
Pergunta-se se a união U\cup W é um subespaço de V. Para isso basta verificar se ela contém o vetor zero e se é fechada sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

O vetor nulo (0,0) satisfaz 0=3\cdot0 e 0=-2\cdot0, logo (0,0)\in U e (0,0)\in W. Portanto
(0,0)\in U\cup W.

Passo 3

Para ser subespaço, U\cup W precisa ser fechado sob soma. Considere
u=(1,3)\in U \quad\text{e}\quad w=(1,-2)\in W.
Então
u+w=(1+1,\,3+(-2))=(2,1).
Verifique se (2,1) pertence a U\cup W:
  • Se (2,1)\in U, então 1=3\cdot2, o que é falso.
  • Se (2,1)\in W, então 1=-2\cdot2, também falso.
Logo (2,1)\notin U\cup W, mostrando que a união não é fechada sob adição.

Passo 4

Como U\cup W falha na propriedade de fechamento sob soma, concluímos que não é um subespaço vetorial de V.

Resposta

U \cup W não é subespaço de \mathbb{R}^2.

Exercícios relacionados