Questão 3 valor: 1,5 ponto Considere o espaço vetorial
e os seguintes subespaços
e
de
definidos por
e
Responda UUW é ou não é um subespaço vetorial de V? Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e os subespaços
e
.
Pergunta-se se a união é um subespaço de
. Para isso basta verificar se ela contém o vetor zero e se é fechada sob soma e multiplicação por escalar.
e
Pergunta-se se a união
Passo 2
O vetor nulo
satisfaz
e
, logo
e
. Portanto
Passo 3
Para ser subespaço,
precisa ser fechado sob soma. Considere
Então
Verifique se
pertence a
:
- Se
, então , o que é falso. - Se
, então , também falso.
Logo
, mostrando que a união não é fechada sob adição.
Passo 4
Como
falha na propriedade de fechamento sob soma, concluímos que não é um subespaço vetorial de
.