Questão 7: (Valor 1,0 ponto)
Sejam f: R^2 longrightarrow R de classe C^1 e F: R^2 longrightarrow R definida por partial fpartial u(2,1)=2, partial fpartial v(2,1)=-1.
Sabendo que partial Fpartial x(1,0), calcule .

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial partial Fpartial x(1,0) de F(x,y)=fl(u(x,y),v(x,y)r), sabendo que f é C^1 e que partial f/partial u e partial f/partial v em (2,1) valem 2 e -1, respectivamente. Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas de duas variáveis.

Passo 2

Definimos as funções internas de F:
u(x,y)=2x^2+y^2, v(x,y)=yx+e^xy

Passo 3

Pela regra da cadeia para F(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)), temos
partial Fpartial x=partial fpartial u(u,v)cdotpartial upartial x+partial fpartial v(u,v)cdotpartial vpartial x

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de u e v em função de x,y:
partial upartial x=-4x(x^2+y^2)^2, partial vpartial x=-yx^2+y,e^xy

Passo 5

Avaliamo-las em (1,0): u(1,0)=2, v(1,0)=0/1+e^0=1;
partial upartial x(1,0)=-4, partial vpartial x(1,0)=0
Então
partial Fpartial x(1,0)=2cdot(-4)+(-1)cdot0=-8

Resposta

-8

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