Questão 1 valor: s,o pontos Classifique em Verdadeira ou Falsa as seguintes afirmações. Justifique brevemente a sua resposta.
a) Em um espaço vetorial
podem existir dois ou mais elementos neutros distintos para a adição de vetores.
b) Em um espaço vetorial
a adição de vetores nem sempre é comutativa.
c) Se
é um subespaço de um espaço vetorial
, então
não precisa necessariamente de ter um elemento neutro para a adição de vetores.
a) Em um espaço vetorial
b) Em um espaço vetorial
c) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada afirmação sobre espaços vetoriais como verdadeira ou falsa, usando os axiomas de espaço vetorial (elemento neutro único, comutatividade da adição, e definição de subespaço).
Passo 2
Para (a) use o axioma de unicidade do elemento neutro: suponha que existam dois elementos neutros
e
em
. Então
logo eles coincidem, não podendo haver dois neutros distintos.
Passo 3
Para (b) observe que a comutatividade da adição faz parte da definição de espaço vetorial: para quaisquer vetores
vale
Logo a adição é sempre comutativa em
.
Passo 4
Para (c) lembre que
é subespaço se satisfaz: não vazio, fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar. Como
, escolha
; então
e
. Portanto o neutro de
pertence a
.
Resposta
a) Falsa.
b) Falsa.
c) Falsa.
b) Falsa.
c) Falsa.