Questão 1 valor: s,o pontos Classifique em Verdadeira ou Falsa as seguintes afirmações. Justifique brevemente a sua resposta.
a) Em um espaço vetorial V podem existir dois ou mais elementos neutros distintos para a adição de vetores.
b) Em um espaço vetorial V a adição de vetores nem sempre é comutativa.
c) Se S é um subespaço de um espaço vetorial V, então S não precisa necessariamente de ter um elemento neutro para a adição de vetores.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmação sobre espaços vetoriais como verdadeira ou falsa, usando os axiomas de espaço vetorial (elemento neutro único, comutatividade da adição, e definição de subespaço).

Passo 2

Para (a) use o axioma de unicidade do elemento neutro: suponha que existam dois elementos neutros \mathbf{0} e \mathbf{0}' em V. Então
\mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0}' = \mathbf{0}',
logo eles coincidem, não podendo haver dois neutros distintos.

Passo 3

Para (b) observe que a comutatividade da adição faz parte da definição de espaço vetorial: para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in V vale
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}.
Logo a adição é sempre comutativa em V.

Passo 4

Para (c) lembre que S\subseteq V é subespaço se satisfaz: não vazio, fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar. Como S\neq\emptyset, escolha \mathbf{u}\in S; então -1\cdot\mathbf{u}\in S e \mathbf{u}+(-1)\mathbf{u}=\mathbf{0}\in S. Portanto o neutro de V pertence a S.

Resposta

a) Falsa.
b) Falsa.
c) Falsa.

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