Questão 4: (Valor 1,0 ponto)
Descreve e esboce as k-curvas de nível da função f(x, y)=9 y^2-4 x^2 para k=-1,0,1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as curvas de nível de f(x,y)=9y²–4x² para k=–1,0,1, ou seja, traçar o conjunto {(x,y) | f(x,y)=k}. Vamos usar definição de curva de nível e classificação de seções cônicas.

Passo 2

As curvas de nível são definidas pela equação f(x,y)=k. Então resolvemos
9y^2 - 4x^2 = k
para cada valor de k.

Passo 3

Para k=0 substituímos na equação:
9y^2 - 4x^2 = 0
Isso fatoriza como (3y-2x)(3y+2x)=0. Logo as curvas de nível são as retas:
y = 23x
e
y = -23x

Passo 4

Para k=1 temos a equação
9y^2 - 4x^2 = 1
Isso é uma hipérbole centrada na origem com eixo transverso vertical. Os vértices estão em x=0, y=±1/3, e as assíntotas são:
y = pm 23x

Passo 5

Para k=-1 a equação fica
9y^2 - 4x^2 = -1 ; Long<=ftrightarrow;4x^2 - 9y^2 = 1
Aqui a hipérbole abre para a direita e esquerda (eixo transverso horizontal). Os vértices estão em y=0, x=±1/2, e as assíntotas continuam sendo
y = pm 23x

Resposta

As curvas de nível são:
Para k=–1: hipérbole 4x²–9y²=1, ramos abertos nas direções Leste/Oeste, vértices em (±1/2,0) e assíntotas y=±(2/3)x.
Para k=0: par de retas y=±(2/3)x.
Para k=1: hipérbole 9y²–4x²=1, ramos abertos nas direções Norte/Sul, vértices em (0,±1/3) e assíntotas y=±(2/3)x.

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