Seja f: N N dada por
f(n)=l n2 se n é par n+12 se n é ímpar ééí
Verifique se f é injetiva, sobrejetiva.

Passo 1

Temos a função f:NtoN dada por
f(n)= dfracn2&se n é par, dfracn+12&se n é ímpar ééí
O conteúdo é injetividade e sobrejetividade de funções e vamos usar suas definições formais para verificar cada caso.

Passo 2

Para testar injetividade, lembramos que f é injetiva se valem
forall n1,n2inN,;f(n1)=f(n2)implies n1=n2
Basta encontrar um contraexemplo. Tome n1=1 e n2=2: ambas naturais e distintas, mas
f(1)=1+12=1, f(2)=22=1
Como f(1)=f(2) e 1neq2, a função não é injetiva.

Passo 3

Para testar sobrejetividade, lembramos que f é sobrejetiva se
forall minN,;exists ninN tal que f(n)=m
Dado um m qualquer em N, escolha n=2m. Então n é par e
f(2m)=2m2=m
Portanto, para cada m existe um n com f(n)=m, mostrando que f é sobrejetiva.

Resposta

f não é injetiva e é sobrejetiva.

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