Questão 3: (Valor 1,0 ponto)
Represente graficamente o domínio da função .

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x,y)=lnl(tfracxy^2-4r). O objetivo é desenhar no plano o conjunto de pontos (x,y) onde essa função está definida, ou seja, onde o argumento do ln é positivo.

Passo 2

Para o ln estar definido, precisamos de duas coisas: o denominador não pode ser zero e o quociente deve ser maior que zero. Então devemos ter
y^2-4neq0
e
xy^2-4>0 .

Passo 3

Analisando o sinal de cada parte: o denominador y^2-4 é positivo quando |y|>2 e negativo quando |y|<2. Para a fração x/(y^2-4)>0 acontecer, ou bem
  1. x>0 e y^2-4>0 x>0 e |y|>2,
    ou
  2. x<0 e y^2-4<0 x<0 e |y|<2.
    Além disso, y=±2 fica excluído pois daria divisão por zero.

Passo 4

Para desenhar no plano: trace linhas horizontais pontilhadas em y=2 e y=-2 (essas linhas não pertencem ao domínio). Depois, sombreie as duas regiões:
• Regiões onde x>0 e |y|>2 (ou seja, à direita do eixo y mas acima de y=2 e abaixo de y=-2).
• Região onde x<0 e |y|<2 (ou seja, à esquerda do eixo y entre as linhas y=-2 e y=2).

Resposta

O domínio é
D=(x,y)in R^2:,x>0,,|y|>2;cup;(x,y)in R^2:,x<0,,|y|<2

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