Questão 4) (Valor: 1,2 ponto) Explique porque a função dada é contínua no ponto x=0 e descontínua no ponto x=pi / 2 :
[
f(x)=\left{ c x^2+x, se x <= 0 sen(x), se 0= pi / 2 \right.

Passo 1

Temos uma função definida por partes que usa três expressões diferentes em três intervalos: f(x)=x^2+x para x<=0, f(x)=sin(x) para 0 e f(x)=x^3-8 para x>=pi/2. O objetivo é verificar continuidade em x=0 e x=pi/2, isto é, conferir se os limites laterais existem e coincidem com o valor da função nesses pontos.

Passo 2

Para x=0, usamos a definição de continuidade: precisamos que limxto0^-f(x)=limxto0^+f(x)=f(0).
Analisando o lado esquerdo, como para x<=0 vale f(x)=x^2+x, temos
limxto0^-f(x)=limxto0^-(x^2+x)=0^2+0=0
Pelo lado direito, para 0 vale f(x)=sin(x), então
limxto0^+f(x)=limxto0^+sin(x)=0
E o valor da função em x=0 é
f(0)=0^2+0=0
Como todos são iguais a 0, a função é contínua em x=0.

Passo 3

Agora em x=pi/2, de novo checamos os limites laterais e o valor da função.
De 0 vale f(x)=sin(x), então
limxto(pi/2)^-f(x)=sinl(pi/2r)=1
Para x>=pi/2 temos f(x)=x^3-8, daí
limxto(pi/2)^+f(x)=l(tfracpi2r)^3-8=pi^38-8approx-4.12
O valor da função em x=pi/2 também é dado por esse polinômio,
fl(pi/2r)=pi^38-8
Como 1neqpi^38-8, o limite à esquerda não coincide nem com o limite à direita nem com f(pi/2). Portanto há descontinuidade em x=pi/2.

Resposta

A função é contínua em x=0 porque limxto0^-f(x)=limxto0^+f(x)=f(0)=0. Ela é descontínua em x=pi/2 pois limxto(pi/2)^-f(x)=1 difere de limxto(pi/2)^+f(x)=f(pi/2)=tfracpi^38-8.

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