QUESTÃO 1 [valor: 3,0 pontos] Calcule as antiderivadas:
[1,0] \int \frac{4 x^{2} d x}{\sqrt{x^{3}+8}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada
\int \frac{4x^{2}}{\sqrt{x^{3}+8}}\,dx.
O conteúdo principal é aplicar substituição simples para transformar a raiz de um polinômio em uma potência de u.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{3} + 8,
pois isso faz aparecer a raiz como u^{1/2}.

Passo 3

Derivamos u em relação a x:
du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 4

Substituímos na integral original:
\int \frac{4x^{2}}{\sqrt{x^{3}+8}}\,dx = \int \frac{4}{\sqrt{u}}\;\bigl(x^{2}\,dx\bigr) = \int \frac{4}{\sqrt{u}}\;\frac{du}{3} = \frac{4}{3}\int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 5

Integramos em u:
\frac{4}{3}\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{4}{3}\cdot\frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} + C = \frac{8}{3}u^{\tfrac12} + C.

Passo 6

Voltando para x, obtemos a família de antiderivadas:
F(x)=\frac{8}{3}\sqrt{x^{3}+8}+C.

Resposta

\frac{8}{3}\sqrt{x^{3}+8}+C

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