Seja
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} x & \text { se } & x<0 \\\ x^{2} & \text { se } & 0<x \leq 2 \\\\ 8-x & \text { se } & x>2 \end{array}\right.
Calcule, se existem, os limites
a) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow 0} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow 1} f(x)
d) \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)
e) \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)
f) \lim _{x \rightarrow 2} f(x)

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes
f(x)= \begin{cases} x, & x<0,\\\ x^{2}, & 0<x\le2,\\\\ 8-x, & x>2, \end{cases}
e pede vários limites unilaterais e bilaterais em x=0, x=1 e x=2. O conteúdo é cálculo de limites de funções definidas por partes, usando as fórmulas de cada ramo conforme x se aproxima dos pontos dados.

Passo 2

Para \displaystyle \lim_{x\to0^{+}}f(x), aproximamos x de 0 pela direita. Nesse caso 0<x\le2, logo usamos
f(x)=x^{2}.
Então
\lim_{x\to0^{+}}f(x) =\lim_{x\to0^{+}}x^{2} =0^{2} =0.

Passo 3

Para \displaystyle \lim_{x\to0^{-}}f(x), aproximamos x de 0 pela esquerda, onde x<0 e
f(x)=x.
Logo
\lim_{x\to0^{-}}f(x) =\lim_{x\to0^{-}}x =0.
Como os dois limites unilaterais coincidem em 0, temos também
\lim_{x\to0}f(x)=0.

Passo 4

Para \displaystyle \lim_{x\to1}f(x), o ponto 1 está no intervalo (0,2]. Portanto usamos
f(x)=x^{2} \quad\text{quando }x\to1,
e obtemos
\lim_{x\to1}f(x) =\lim_{x\to1}x^{2} =1^{2} =1.

Passo 5

Para \displaystyle \lim_{x\to2^{-}}f(x), aproximamos x de 2 pela esquerda, ainda com 0<x\le2. Assim
f(x)=x^{2} \quad\text{quando }x\to2^{-},
logo
\lim_{x\to2^{-}}f(x) =\lim_{x\to2^{-}}x^{2} =2^{2} =4.

Passo 6

Para \displaystyle \lim_{x\to2^{+}}f(x), aproximamos x de 2 pela direita, onde x>2 e
f(x)=8-x.
Assim
\lim_{x\to2^{+}}f(x) =\lim_{x\to2^{+}}(8-x) =8-2 =6.

Passo 7

Como \lim_{x\to2^{-}}f(x)=4 e \lim_{x\to2^{+}}f(x)=6 são diferentes, o limite bilateral em 2 não existe:
\lim_{x\to2}f(x)\text{ não existe.}ã

Resposta

a) 0
b) 0
c) 1
d) 4
e) 6
f) não existe

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