Questão 2 - Valor 2,0 pontos
Calcule a integral de linha integralC(x-z)) d x+z d y+(y-2 z) d z, onde C é o segmento de reta que liga (1,0,0) a (3,4,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC(x - z),dx ;+; z,dy ;+;(y - 2z),dz
onde C é o segmento de reta de (1,0,0) a (3,4,2). O conteúdo da matéria é integral de linha de campos vetoriais em R^3. Vamos usar parametrização do segmento e expressar dx,dy,dz em função do parâmetro.

Passo 2

Parametrizamos o segmento unindo (1,0,0) a (3,4,2) por
r(t) = l(x(t),y(t),z(t)r) = (1,0,0) + t,(2,4,2), 0<= t<=1
Logo,
x(t)=1+2t, y(t)=4t, z(t)=2t
Derivando em relação a t, obtemos
dx = x'(t),dt = 2,dt, dy = y'(t),dt = 4,dt, dz = z'(t),dt = 2,dt

Passo 3

Substituímos na integral. Primeiro calculamos os componentes do campo ao longo da curva:
x - z = (1+2t)-(2t)=1, z = 2t, y - 2z = 4t - 4t = 0
Assim o integrando fica
(x - z),dx + z,dy + (y-2z),dz = 1cdot(2,dt) + (2t)cdot(4,dt) + 0cdot(2,dt) = l(2 + 8tr),dt

Passo 4

Agora integramos em t de 0 a 1:
integral0^1l(2+8tr),dt = [2t + 4t^2]0^1 = 2 + 4 = 6

Resposta

O valor da integral de linha sobre C é 6.

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